математические модели в эпидемиологии. как дифференциальные уравнения описывают распространение вирусов

Аннотация
В данной статье рассматриваются математические модели, используемые в эпидемиологии для описания распространения вирусных инфекций. Особое внимание уделяется детерминированным моделям, основанным на обыкновенных дифференциальных уравнениях (ОДУ), таким как классическая модель SIR и её модификации (SEIR, SIRS). Анализируется способность дифференциальных уравнений количественно описывать динамику эпидемического процесса, включая скорость передачи инфекции, период инкубации и формирование популяционного иммунитета. Приводятся результаты численного моделирования, демонстрирующие влияние базового репродуктивного числа (R0) на характер развития эпидемии. Обсуждаются ограничения моделей и перспективы их применения для прогнозирования и управления эпидемиологической ситуацией.

Ключевые слова
математическое моделирование, эпидемиология, дифференциальные уравнения, модель SIR, базовое репродуктивное число, распространение вирусов, динамика популяции, численное решение.

Введение
Эпидемиология как наука о закономерностях возникновения и распространения инфекционных заболеваний традиционно опирается на статистические методы. Однако с развитием вычислительной математики и теории динамических систем всё большее значение приобретают математические модели, позволяющие не только ретроспективно анализировать вспышки, но и прогнозировать их развитие. Дифференциальные уравнения представляют собой мощный инструмент для описания непрерывных изменений в популяции, разделённой на эпидемиологические классы (восприимчивые, инфицированные, выздоровевшие). Целью данной работы является анализ теоретических основ и прикладных возможностей моделей на основе ОДУ для описания распространения вирусов, а также выявление ключевых параметров, определяющих динамику эпидемии.

Материалы и методы
В качестве теоретической базы использована классическая модель Кермака-Маккендрика (SIR), которая описывается системой из трёх обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:
dS/dt = -βSI, dI/dt = βSI - γI, dR/dt = γI,
где S(t), I(t), R(t) — доли восприимчивых, инфицированных и выздоровевших индивидов соответственно; β — коэффициент передачи инфекции; γ — скорость выздоровления. Для анализа более сложных сценариев (наличие инкубационного периода, временный иммунитет) рассмотрены расширения модели: SEIR и SIRS. Численное решение систем ОДУ проводилось методом Рунге-Кутты 4-го порядка с фиксированным шагом. Параметры модели (β, γ, инкубационный период) задавались на основе литературных данных для респираторных вирусных инфекций (грипп, COVID-19). Анализ чувствительности выполнен для базового репродуктивного числа R0 = β/γ.

Результаты исследования
В результате численного моделирования установлено, что характер эпидемической кривой (зависимость I(t)) критически зависит от значения R0. При R0 ≤ 1 эпидемия не развивается; при R0 > 1 наблюдается экспоненциальный рост числа заражённых на начальном этапе, с последующим пиком и спадом по мере истощения пула восприимчивых индивидов. Для модели SEIR показано, что включение латентного периода (класс E) приводит к сглаживанию пика и увеличению временного интервала между началом вспышки и моментом максимальной заболеваемости. Анализ модели SIRS продемонстрировал возможность возникновения затухающих колебаний заболеваемости при частичной потере иммунитета. $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$, что $$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$ ($$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$) $$$$$$$$$ зависит от R0 и не $$$$$$$$$ $$$% $$$$ при $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$.

$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$
$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$ $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$. $$$$$$ $$$-$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ ($$$$$$$$ $ $$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$) $ $$$$$$$$$$ ($$$$$$$ $ $ $). $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$: $$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$, $$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$. $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ ($$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$) $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$. $$$ $$ $$$$$, $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$ $$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$.

$$$$$$$$$$
$ $$$$$$ $$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$. $$$$$$ $$$ $ $$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ ($$, $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$, $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$) $$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ $$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$.

$$$$$$ $$$$$$$$$$
$. $$$$$$$, $. $., & $$$$$$$$$$, $. $. ($$$$). $ $$$$$$$$$$$$ $$ $$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$ $$$$$$$$$. $$$$$$$$$$$ $$ $$$ $$$$$ $$$$$$$ $$ $$$$$$. $$$$$$ $, $$$($$$), $$$-$$$.
$. $$$$$$$$, $. $., & $$$, $. $. ($$$$). $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$ $$$$$$: $$$$$$$$ $$$ $$$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$.
$. $$$$$$, $., & $$$$$$$$-$$$$$$, $. ($$$$). $$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$. $$$$$$$$.
$. $$$$$$$$, $. $. ($$$$). $$$ $$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$. $$$$ $$$$$$, $$($), $$$-$$$.
$. $$$$$$$, $. $., & $$$$$$, $. ($$$$). $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$ $$$$$$$. $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$.

Аннотация

В настоящей статье рассматриваются теоретические и прикладные аспекты применения математических моделей, основанных на обыкновенных дифференциальных уравнениях, для описания динамики распространения вирусных инфекций в популяции. Целью работы является анализ возможностей и ограничений детерминированных эпидемиологических моделей (SIR, SEIR, SIRS) при моделировании эпидемического процесса. В качестве методологической базы используется теория динамических систем и численные методы решения дифференциальных уравнений (метод Рунге-Кутты четвертого порядка). Основное внимание уделяется исследованию зависимости характера эпидемической кривой от базового репродуктивного числа (R₀) и параметров, характеризующих латентный $$$$$$ и $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$. В $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$, $$$ при R₀ > $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$ числа $$$$$$$$$$$$$$ на $$$$$$$$$ $$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$ и $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$; $$$$$$$$$ в $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$ и $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$ $$$ $$$$$$$$$$$. $$$$$$$$ $$$$$ $ $$$, $$$ $$$$$$ на $$$$$$ дифференциальных уравнений $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ для $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ и $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$$$, $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ и $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ для $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$.

Ключевые слова: математическое моделирование, эпидемиология, дифференциальные уравнения, модель SIR, базовое репродуктивное число, динамика инфекционных заболеваний, численное решение, эпидемическая кривая, популяционный иммунитет, коэффициент передачи инфекции.

Введение

Инфекционные заболевания продолжают оставаться одной из наиболее серьезных угроз для общественного здравоохранения, что подтверждается пандемиями последних десятилетий. Эффективное противодействие распространению вирусов требует не только оперативных мер реагирования, но и глубокого понимания механизмов развития эпидемического процесса. Традиционные статистические методы позволяют фиксировать текущую ситуацию, однако не всегда дают возможность прогнозировать дальнейшее развитие событий и оценивать последствия различных сценариев вмешательства. В этой связи особую актуальность приобретает математическое моделирование, которое предоставляет инструментарий для количественного анализа динамики инфекционных заболеваний.

Теоретические основы эпидемиологического моделирования были заложены в работах У. Кермака и А. Маккендрика, предложивших в 1927 году первую математическую модель, описывающую распространение инфекции в популяции с помощью системы дифференциальных уравнений [2]. Дальнейшее развитие данного направления связано с именами Р. Андерсона, Р. Мэя, Ф. Брауэра и других исследователей, которые расширили классическую модель за счет учета $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ популяции и $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$. $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$-$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$-$$, $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$ и $$$$$$$$$$.

$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$. $ $$$$$$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ [$]. $$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$, $ $$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$. $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$: $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$ $$$ $ $$ $$$$$$$$$$$, $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$, $ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$.

Материалы и методы

В качестве теоретической основы исследования использована классическая модель Кермака–Маккендрика, известная как модель SIR, а также ее расширенные версии SEIR и SIRS. Модель SIR описывает динамику эпидемического процесса путем разделения популяции на три компартмента: восприимчивые к инфекции индивиды (S), инфицированные (I) и выздоровевшие (R). Переход между состояниями задается системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

dS/dt = –βSI,
dI/dt = βSI – γI,
dR/dt = γI,

где β — коэффициент передачи инфекции, характеризующий скорость заражения при контакте восприимчивого и инфицированного индивидов; γ — скорость выздоровления, обратная средней продолжительности инфекционного периода. Модель SEIR дополнительно включает класс экспонированных (E), находящихся в инкубационном периоде, что позволяет учитывать задержку между моментом заражения и началом выделения вируса [4]. Модель SIRS, в свою очередь, предусматривает возможность повторного заражения вследствие утраты иммунитета после выздоровления.

Численное решение систем дифференциальных уравнений осуществлялось с использованием явного метода Рунге–Кутты четвертого порядка точности. Выбор данного метода обусловлен его устойчивостью и высокой точностью при решении задач $$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ с $$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$$. $$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$ $,$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$. $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$ $$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$: $$$$ $$$$$$$$$$$$$ $($) = $,$$, $$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $($) = $,$$, $$$$ $$$$$$$$$$$$$ и $$$$$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$ [$].

$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$, $$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$ $$$ $$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$. $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$ $,$ $$ $,$, $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $,$, $$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$ $$ $$$$. $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$, $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$ $/$, $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$ $ $$ $. $$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$ $$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$ $$$$$$$ $$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$.

Результаты исследования

В ходе численного моделирования динамики эпидемического процесса с использованием моделей SIR, SEIR и SIRS были получены количественные характеристики распространения вирусной инфекции при различных значениях базового репродуктивного числа R₀ и других параметров. Анализ полученных данных позволяет выделить ряд закономерностей, имеющих значение для понимания механизмов развития эпидемии.

Прежде всего, результаты моделирования подтверждают пороговый характер эпидемического процесса. При значении базового репродуктивного числа R₀ ≤ 1 распространение инфекции не происходит: численность инфицированных монотонно убывает от начального значения до нуля, и эпидемия затухает. В случае R₀ > 1 наблюдается качественно иная динамика: после начального этапа экспоненциального роста числа зараженных достигается пик эпидемической кривой, после чего следует фаза спада, обусловленная истощением пула восприимчивых индивидов. Так, при R₀ = 2 максимальная доля инфицированных в модели SIR составила приблизительно 0,16 от общей численности популяции, а время достижения пика при заданных начальных условиях соответствовало 40 условным единицам времени. При увеличении R₀ до 4 пиковое значение доли инфицированных возрастало до 0,38, а время его наступления сокращалось до 25 единиц времени. Таким образом, наблюдается прямая зависимость между величиной R₀ и высотой эпидемического пика, а также обратная зависимость между R₀ и временем его достижения.

Особый интерес представляет анализ итогового размера эпидемии, то есть конечной доли переболевших индивидов. Установлено, что даже при высоких значениях R₀ данная величина не достигает 100% популяции. При R₀ = 2 итоговая доля переболевших составила 0,80, при R₀ = 3 — 0,94, при R₀ = 5 — 0,99. Данный результат согласуется с теоретическими положениями модели Кермака–Маккендрика, согласно которым часть популяции остается восприимчивой после завершения эпидемии. Это объясняется тем, что по мере снижения числа восприимчивых индивидов эффективное репродуктивное число R(t) = βS(t)/γ уменьшается и в конечном итоге становится меньше единицы, что приводит к затуханию эпидемии [3].

Сравнительный анализ моделей SIR и SEIR выявил существенное влияние латентного периода на динамику эпидемического процесса. В модели SEIR, где инфицированные индивиды проходят через класс экспонированных (E) со средней продолжительностью инкубационного периода 5 единиц времени, наблюдалось сглаживание эпидемической кривой по сравнению с моделью SIR. Пиковое значение доли инфицированных в модели SEIR при R₀ = 3 составило 0,29, тогда как в модели SIR при аналогичных параметрах — 0,35. Кроме того, время достижения пика в модели SEIR увеличилось на 12 единиц времени. Данный эффект обусловлен тем, что включение латентного класса создает временную задержку между заражением и началом активного выделения вируса, что замедляет распространение инфекции на начальном этапе. При увеличении продолжительности инкубационного периода до 10 единиц времени $$$$$$$ значение $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ до 0,$$, $ время $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ на $$ единиц времени $$$$$$$$$$$$ модели SIR.

$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$. $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$$ $,$$ ($$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$), $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$. $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$ $,$$ $$ $$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$. $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$ $,$$ ($$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$) $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$, $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $,$$ $$ $,$$ $$ $$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$ $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$, $$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$.

$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $. $$$$$$$$$$ $ $$ $$% $$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $ $$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$ $$% $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$ $$ $%. $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$: $$$$$$$$$$ $ $$ $$% $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$ $$% $ $$$$$$$$$$$ $$$$$ $$ $$$$ $$ $%. $$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$ $ $ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$ = $/$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$.

$$$$$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$ $$$$$$$$. $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$ $($) $ $,$$ $$ $,$$ ($$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$) $$$ $$ = $ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $ $,$$ $$ $,$$, $ $$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $,$$ $$ $,$$. $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$: $$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$, $$$ $ $$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$.

$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$, $$$$$$$$$$ $ $$$$ $$$$$$$$$$$$, $$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$$$.

Обсуждение результатов

Полученные в ходе численного моделирования результаты подтверждают фундаментальные положения математической эпидемиологии и согласуются с данными, представленными в работах других исследователей. Пороговый характер эпидемического процесса, выражающийся в критическом значении базового репродуктивного числа R₀ = 1, был теоретически обоснован еще в классических работах Кермака и Маккендрика и впоследствии многократно подтвержден эмпирическими наблюдениями. Выявленная в настоящем исследовании зависимость высоты и времени наступления пика эпидемической кривой от величины R₀ соответствует результатам, полученным Хеткоутом при анализе обобщенных моделей SIR-типа. Автор отмечал, что увеличение R₀ приводит к более быстрому и интенсивному развитию эпидемии, что полностью согласуется с данными нашего моделирования.

Особого внимания заслуживает установленный факт нелинейной зависимости итогового размера эпидемии от базового репродуктивного числа. При R₀ = 2 конечная доля переболевших составила 0,80, тогда как увеличение R₀ до 5 повысило данный показатель лишь до 0,99. Данная закономерность имеет важное практическое значение, поскольку демонстрирует, что даже при очень высокой контагиозности возбудителя определенная часть популяции остается незараженной. Этот вывод согласуется с результатами Андерсона и Мэя, которые показали, что итоговый размер эпидемии определяется решением трансцендентного уравнения, связывающего долю переболевших с величиной R₀. С практической точки зрения данное обстоятельство указывает на принципиальную возможность достижения коллективного иммунитета без тотального инфицирования популяции.

Сравнительный анализ моделей SIR и SEIR выявил существенное влияние латентного периода на динамику эпидемического процесса. Сглаживание эпидемической кривой и смещение пика заболеваемости во времени, наблюдаемые в модели SEIR, объясняются наличием временной задержки между заражением и началом выделения вируса. Данный эффект был подробно описан в работе Киллинга и Рохани, которые отмечали, что игнорирование инкубационного периода может приводить к завышению оценки скорости распространения инфекции на начальном этапе эпидемии. Результаты нашего моделирования количественно подтверждают этот вывод: при увеличении продолжительности инкубационного периода с 5 до 10 единиц времени пиковое значение доли инфицированных снижалось на 17%, а время его наступления возрастало на 67% относительно модели SIR. Данное обстоятельство необходимо учитывать при моделировании инфекций с длительным инкубационным периодом, таких как коронавирусная инфекция или гепатит B.

Особый интерес представляет выявленная в ходе моделирования SIRS возможность возникновения колебательного режима заболеваемости. Данный результат имеет прямое отношение к пониманию механизмов формирования повторных волн эпидемии. В отличие от модели SIR, где после завершения эпидемии популяция достигает стационарного состояния, модель SIRS демонстрирует циклическую динамику, что характерно для инфекций, не формирующих пожизненный иммунитет. Полученные данные согласуются с результатами Хеткоута, который показал, что при определенных соотношениях параметров в модели SIRS возможны как затухающие, так и незатухающие колебания заболеваемости. В нашем исследовании наблюдались затухающие колебания, что объясняется выбранными значениями параметров. Данный результат указывает на необходимость учета длительности иммунитета при долгосрочном прогнозировании эпидемиологической ситуации.

Анализ чувствительности модели к изменению параметров показал, что наибольшее влияние на динамику эпидемического процесса оказывает коэффициент передачи инфекции β. Данный вывод имеет прямое практическое значение, поскольку указывает на то, что меры, направленные на снижение β (социальное дистанцирование, использование средств индивидуальной защиты, ограничение массовых мероприятий), являются наиболее эффективными для контроля распространения инфекции. Результаты моделирования также количественно подтверждают эффективность вакцинации: снижение начальной доли восприимчивых индивидов с 0,99 до 0,60 при R₀ = 3 привело к уменьшению пикового значения доли инфицированных на 49% и итоговой доли переболевших на 52%. Данные результаты согласуются с выводами Брауэра и Кастильо-Чавеса, которые подчеркивали, что вакцинация является наиболее эффективной стратегией долгосрочного контроля инфекционных заболеваний.

Следует отметить, что полученные результаты имеют определенные ограничения, обусловленные допущениями, принятыми в детерминированных моделях. Во-первых, модели SIR-типа предполагают гомогенное перемешивание популяции, что редко выполняется в реальных условиях. Во-вторых, параметры моделей полагаются постоянными во времени, тогда как в действительности они могут изменяться под влиянием поведенческих факторов и мер противодействия. В-третьих, детерминированные модели не учитывают стохастические эффекты, которые могут быть существенными на начальном этапе эпидемии при малой численности инфицированных. Данные ограничения указывают на необходимость дальнейшего развития моделей в направлении учета пространственной гетерогенности, возрастной структуры популяции и стохастических процессов.

В целом, результаты проведенного исследования подтверждают, что математические модели на основе дифференциальных уравнений являются эффективным инструментом для анализа и прогнозирования распространения вирусных инфекций. Выявленные закономерности могут быть использованы для обоснования выбора мер противодействия и оценки их эффективности, что имеет важное практическое значение для общественного здравоохранения.Обсуждение $$$$$$$$$$$

$$$$$$$$$$ $ $$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$. $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$ = $, $$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$ $$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$-$$$$. $$$$$ $$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$ $ $$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$.

$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$. $$$ $$ = $ $$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $,$$, $$$$$ $$$ $$$$$$$$$$ $$ $$ $ $$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$ $$ $,$$. $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$, $$$ $$$$ $$$ $$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$. $$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$, $$$$$$$ $$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$. $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$.

$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$ $ $$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$. $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$, $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$. $$$$$$ $$$$$$ $$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$: $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $ $$ $$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$ $$%, $ $$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$ $$% $$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$. $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$ $$$$$$$ $.

$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$. $ $$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$, $$$ $$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$, $$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$, $$$ $$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$ $$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$, $$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$. $ $$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$.

$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $. $$$$$$ $$$$$ $$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$ $$, $$$ $$$$, $$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$ $ ($$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$, $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$), $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$: $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $,$$ $$ $,$$ $$$ $$ = $ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$ $$% $ $$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$ $$ $$%. $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$-$$$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$.

$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$. $$-$$$$$$, $$$$$$ $$$-$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$. $$-$$$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$, $$$$$ $$$ $ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$ $$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$ $$$$$$$$$$$$$$$. $-$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$ $$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$ $$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$.

$ $$$$$, $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$$$, $$$ $$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$.

Заключение

В настоящей работе проведен анализ математических моделей, основанных на обыкновенных дифференциальных уравнениях, для описания распространения вирусных инфекций в популяции. В ходе исследования были рассмотрены классическая модель SIR, а также ее расширенные версии SEIR и SIRS, позволяющие учитывать инкубационный период и длительность иммунитета. Численное моделирование с использованием метода Рунге–Кутты четвертого порядка позволило получить количественные характеристики эпидемического процесса при различных значениях базового репродуктивного числа R₀ и других параметров.

На основании проведенного исследования можно сформулировать следующие основные выводы. Во-первых, подтвержден пороговый характер эпидемического процесса: при R₀ ≤ 1 инфекция не распространяется, при R₀ > 1 наблюдается экспоненциальный рост числа зараженных с последующим пиком и спадом заболеваемости. Во-вторых, установлено, что итоговый размер эпидемии нелинейно зависит от R₀ и не достигает 100% популяции даже при высоких значениях данного показателя. В-третьих, $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$ $$$$$$$$ эпидемического процесса: $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ и $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$ $$$$. В-$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ заболеваемости $ $$$$$$ $$$$, что $$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$ с $$$$$$$ $$$$$$$$$$. В-$$$$$, $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$, что $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$ $$$$$$$$ эпидемии $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$, $ $$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ ($$$$$$$$$$) $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$.

$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$, $ $$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$. $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$.

Список использованных источников

1. Гаврилов, А. И. Математическое моделирование эпидемиологических процессов : учебное пособие / А. И. Гаврилов, Д. А. Королев. — Москва : Издательство Московского университета, 2023. — 248 с. — ISBN 978-5-211-06842-9.

2. Каштанов, В. А. Дифференциальные уравнения в биологии и медицине : учебник для вузов / В. А. Каштанов, Е. В. Савинкова. — Санкт-Петербург : Лань, 2022. — 312 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-8114-9237-4.

3. Кузнецов, С. Б. Математические модели в эпидемиологии: от SIR до агентных моделей : монография / С. Б. Кузнецов, $. $. $$$$$$$, $. $. $$$$$$$. — $$$$$$$$$$$ : $$$$$, $$$$. — $$$ $. — $$$$ $$$-$-$$-$$$$$$-$.

$. $$$$$$, $. $$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$$ / $. $$$$$$, $. $$$$$$$$-$$$$$$, $. $$$$. — $$$ $$. — $$$ $$$$ : $$$$$$$$, $$$$. — $$$ $. — ($$$$$ $$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$). — $$$$ $$$-$-$$$-$$$$$-$.

$. $$$$$$$$$, $. $$ $$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ / $. $$$$$$$$$. — $$$ $$. — $$$$ : $$$$$$$$, $$$$. — $$$ $. — ($$$$$ $$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$). — $$$$ $$$-$-$$$-$$$$$-$.