Обзор множества действительных чисел, его составных частей и их расположения на числовой прямой.
Рациональные числа: Определение, примеры, представление в виде дроби.
Иррациональные числа: Числа, которые нельзя представить дробью, примеры.
Числовая прямая: Изображение чисел на прямой, соответствие точек и чисел.
Сравнение множеств: Как сравнивать рациональные и иррациональные числа, упорядочивание.
Определение: Действительные числа — это все числа, которые можно изобразить на числовой прямой. Они включают рациональные и иррациональные числа.
Обозначение: Множество действительных чисел обозначается буквой R. Оно бесконечно и непрерывно.
Примеры: Примерами действительных чисел являются 0, 1, -3, 1/2, √2, π. Все они могут быть отмечены на числовой прямой.
Действительные числа объединяют рациональные и иррациональные числа.
Рациональные числа: Это числа, которые можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, n ≠ 0. Примеры: 1/2, -3/4, 5, 0. Они либо конечные десятичные, либо бесконечные периодические.
Иррациональные числа: Это числа, которые нельзя представить в виде дроби m/n. Их десятичная запись бесконечна и непериодична. Примеры: √2, π, e.
Взаимосвязь: Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел. Они дополняют друг друга до непрерывной прямой.
Рациональные и иррациональные числа — две составляющие действительных чисел.
Рациональные
Можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые, n ≠ 0.
Десятичная запись конечна или бесконечна периодична.
Примеры: 1/2, 0.75, -3, 0.(3).
Иррациональные
Нельзя представить в виде дроби m/n.
Десятичная запись бесконечна и непериодична.
Примеры: √2, π, e.
Формы записи: Любое рациональное число можно записать как обыкновенную дробь, конечную десятичную или бесконечную периодическую десятичную дробь.
Примеры: Число 1/2 равно 0.5, число 1/3 равно 0.(3), число 5 можно записать как 5/1 или 5.0.
Свойства: Сумма, разность, произведение и частное (кроме деления на ноль) рациональных чисел также рациональны.
Рациональные числа замкнуты относительно арифметических операций.
Определение: Иррациональное число — это действительное число, которое не является рациональным. Его нельзя представить в виде дроби m/n.
Примеры: Классические примеры: квадратный корень из двух (√2), число π, число e. Их десятичные записи не обрываются и не повторяются.
Свойства: Сумма рационального и иррационального чисел иррациональна. Произведение ненулевого рационального и иррационального также иррационально.
Иррациональные числа заполняют промежутки между рациональными.
Действительные числа
Рациональные числа: Включают целые числа, конечные и бесконечные периодические десятичные дроби. Примеры: 0, 1, -3, 1/2, 0.75.
Иррациональные числа: Числа, не являющиеся рациональными. Примеры: √2, π, e. Их десятичная запись бесконечна и непериодична.
Числовая прямая: Каждой точке прямой соответствует единственное действительное число, и наоборот. Прямая непрерывна и не имеет пробелов.
Выбор единичного отрезка: Задаём начало отсчёта, направление и масштаб. Единичный отрезок позволяет сопоставить числа и точки.
Построение рационального числа: Чтобы отметить 1/2, делим единичный отрезок на две равные части и берём одну. Для 3/4 — делим на четыре и берём три.
Построение иррационального числа: Для √2 строим прямоугольный треугольник с катетами 1 и 1; гипотенуза равна √2. Откладываем её на прямой от нуля.
Любое действительное число можно изобразить точкой на прямой.
Свойство; Рациональные; Иррациональные
Представление дробью; Можно в виде m/n; Нельзя
Десятичная запись; Конечная или периодическая; Бесконечная непериодическая
Примеры; 1/2, 0.75, -3; √2, π, e
Замкнутость относительно операций; Сумма, разность, произведение, частное (кроме деления на 0) рациональны; Не замкнуты: сумма иррациональных может быть рациональной
Сравнение рациональных
Привести к общему знаменателю или сравнить десятичные записи.
Например, 1/3 < 1/2, так как 0.(3) < 0.5.
Можно отметить на числовой прямой и сравнить положение.
Сравнение иррациональных
Сравнивать приближённые значения с достаточной точностью.
Например, √2 ≈ 1.414, π ≈ 3.141, значит √2 < π.
Точное сравнение возможно через возведение в квадрат для корней.
Мощность множеств: Множество рациональных чисел счётно, а множество действительных чисел несчётно. Это означает, что действительных чисел «больше», чем рациональных.
Плотность: Между любыми двумя рациональными числами найдётся иррациональное, и наоборот. Оба множества плотны на прямой.
Непрерывность: Действительные числа образуют непрерывное множество, в то время как рациональные числа имеют «пробелы» на прямой.
Действительные числа заполняют всю числовую прямую без пробелов.
Действительные числа: Это объединение рациональных и иррациональных чисел. Они покрывают всю числовую прямую.
Рациональные числа: Представимы в виде дроби, их десятичная запись конечна или периодична.
Иррациональные числа: Не представимы в виде дроби, их десятичная запись бесконечна и непериодична.
Сравнение: Действительные числа можно сравнивать и упорядочивать на числовой прямой.
Действительные числа — фундаментальное понятие математики, объединяющее рациональные и иррациональные числа. Их изучение продолжается в старших классах.
