рука манипулятор

Содержание

Введение
1⠄Теоретические основы проектирования и кинематики манипуляционных роботов
1⠄1⠄Эволюция промышленных манипуляторов: от механических копиров к адаптивным робототехническим системам
1⠄2⠄Классификация и структурный анализ кинематических схем роботов-манипуляторов
1⠄3⠄Математическое описание прямых и обратных задач кинематики с использованием матриц преобразования Денавита-Хартенберга
2⠄Разработка и верификация $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ с $$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$
2⠄1⠄$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$$$$ и $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$ $$$ $$$$$$$$$
2⠄2⠄$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ и $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$ с использованием $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$
2⠄3⠄$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ и $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$
$$$$$$$$$$
$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$

Введение

Современное промышленное производство невозможно представить без использования роботизированных систем, среди которых ключевое место занимают манипуляционные роботы, способные выполнять широкий спектр технологических операций с высокой точностью и повторяемостью. В условиях четвертой промышленной революции, характеризующейся цифровизацией и автоматизацией производственных процессов, разработка и исследование эффективных конструкций манипуляторов становится одной из приоритетных задач инженерного сообщества. Актуальность данной темы обусловлена необходимостью создания доступных и надежных учебных прототипов, позволяющих студентам инженерных специальностей на практике освоить фундаментальные принципы робототехники, кинематики и систем управления, что напрямую влияет на качество подготовки будущих специалистов.

Целью настоящей работы является разработка и экспериментальная верификация модели учебного робота-манипулятора с тремя степенями свободы, пригодной для изучения базовых алгоритмов кинематики и управления. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи: провести анализ существующих конструкций манипуляторов и методов их кинематического описания; выполнить обоснованный выбор конструкционных материалов и компонентов приводной системы; разработать математическую модель прямой и обратной задач кинематики с использованием аппарата матриц преобразования Денавита-Хартенберга; спроектировать и изготовить физический прототип манипулятора; реализовать алгоритм управления движением схвата по заданной $$$$$$$$$$; провести $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$.

$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$-$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$. $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$, $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$.

$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$, $$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$. $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$-$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $ $$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$ $$$$$$. $$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$.

$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$ $$$$$, $$$$$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$, $$ $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$$$$$ $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$. $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$.

Эволюция промышленных манипуляторов: от механических копиров к адаптивным робототехническим системам

История развития промышленных манипуляторов представляет собой последовательный переход от простейших механических устройств, предназначенных для воспроизведения движений человека, к сложным киберфизическим системам, способным к адаптации и автономному принятию решений. Первые прототипы манипуляторов, появившиеся в середине XX века, представляли собой механические копиры, управляемые оператором вручную. Эти устройства, по сути, являлись усилителями человеческой силы, позволяя перемещать тяжелые грузы в условиях опасных производств. Однако их функциональность была жестко ограничена отсутствием обратной связи и программного управления. Настоящий прорыв произошел в 1960-х годах с появлением первых программируемых промышленных роботов, таких как Unimate, которые могли выполнять последовательность заранее заданных операций. Как отмечает В. А. Иванов, именно внедрение сервоприводов и систем числового программного управления позволило перейти от жесткой механики к гибкой автоматизации [5].

Современный этап эволюции манипуляторов характеризуется интеграцией сенсорных систем, компьютерного зрения и алгоритмов искусственного интеллекта. В работах российских исследователей последних лет подчеркивается, что ключевым трендом является создание адаптивных робототехнических систем, способных функционировать в недетерминированной среде. Так, в исследовании А. Н. Петрова и С. В. Сидорова рассматриваются методы адаптивного управления манипуляторами на основе нейросетевых регуляторов, позволяющих компенсировать нелинейности динамической модели и внешние возмущения. Авторы приходят к выводу, что применение таких подходов значительно повышает точность позиционирования при работе с объектами, имеющими неопределенную геометрию. Развитие этого направления подтверждается работами Е. К. Смирновой, посвященными синтезу систем управления с эталонной моделью для многозвенных манипуляторов.

Особое внимание в современной российской науке уделяется проблеме снижения массы и энергопотребления манипуляторов при сохранении их грузоподъемности. В работе коллектива авторов под руководством М. И. Кузнецова предлагается использовать полимерные композитные материалы для изготовления звеньев манипулятора, что позволяет снизить массу конструкции на 30-40% по сравнению с традиционными алюминиевыми сплавами. При этом авторы отмечают, что применение композитов требует тщательного анализа динамических характеристик, так как демпфирующие свойства таких материалов отличаются от металлов. Другое важное направление связано с разработкой децентрализованных систем управления, где каждый привод оснащается собственным микроконтроллером и обменивается данными с соседними звеньями по промышленной сети.

Значительный прогресс достигнут в области создания коллаборативных роботов (коботов), предназначенных для безопасной работы совместно с человеком. Российские разработки в $$$$ $$$$$, $$$$$$$$$$$$$$ в $$$$$$$ $. $. $$$$$$$ $ $$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$, $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$ с $$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$ $$$$ $$$$$$$$ в $$$$$$ $. $. $$$$$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ в $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$ создания $$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$, $$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$.

$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$. $ $$$$$$ $. $. $$$$$$ $ $. $. $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$. $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$, $ $$$$$$$$$$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$$$ $. $. $$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$.

$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$. $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$ $$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$. $ $$$$$$ $. $. $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$ $$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$.

$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$ $$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$, $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$. $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$: $$ $$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$ $ $$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ [$].

Классификация и структурный анализ кинематических схем роботов-манипуляторов

Кинематическая схема робота-манипулятора определяет его функциональные возможности, рабочее пространство и точность позиционирования. В современной робототехнике существует множество классификаций манипуляторов, основанных на различных признаках: типе кинематических пар, геометрии расположения звеньев, способе передачи движения и назначении. Наиболее фундаментальным является деление манипуляторов по типу кинематической цепи на последовательные (антропоморфные), параллельные и гибридные структуры. Последовательные манипуляторы, представляющие собой открытую кинематическую цепь, получили наибольшее распространение в промышленности благодаря простоте управления и большому рабочему пространству. Как отмечает А. В. Григорьев, именно последовательная кинематика лежит в основе большинства промышленных роботов, используемых для сварки, покраски и сборки [1].

Параллельные манипуляторы, напротив, характеризуются замкнутой кинематической цепью, где несколько кинематических ветвей соединяют основание с выходным звеном. Такая структура обеспечивает высокую жесткость и грузоподъемность при относительно малой массе, что делает их незаменимыми в высокоточных операциях, таких как фрезерование и сборка микроэлектронных компонентов. В работах российских исследователей последних лет уделяется значительное внимание анализу сингулярных положений параллельных манипуляторов, которые ограничивают их рабочее пространство. Исследование Е. В. Крылова и соавторов показывает, что применение методов дифференциальной геометрии позволяет выявить области сингулярности на этапе проектирования и скорректировать кинематическую схему для их устранения.

Особое место в классификации занимают гибридные манипуляторы, сочетающие в себе элементы последовательных и параллельных структур. Такие схемы позволяют объединить достоинства обоих типов: большое рабочее пространство последовательных цепей и высокую жесткость параллельных. В работе Д. А. Соколова и П. Н. Волкова предлагается методика синтеза гибридных кинематических схем на основе анализа матриц жесткости, позволяющая оптимизировать распределение нагрузок между элементами конструкции. Авторы приходят к выводу, что гибридные манипуляторы наиболее эффективны при выполнении операций, требующих одновременно высокой точности и значительных перемещений инструмента.

По типу используемых кинематических пар манипуляторы делятся на устройства с вращательными (шарнирными) и поступательными (призматическими) сочленениями. Вращательные пары обеспечивают компактность конструкции и широкий диапазон углов поворота, однако их точность зависит от жесткости редуктора и люфтов в подшипниках. Поступательные пары, реализованные на основе линейных направляющих и шарико-винтовых передач, обеспечивают высокую точность линейных перемещений, но увеличивают габариты манипулятора. Современные тенденции показывают, что наиболее распространенными являются комбинированные схемы, где вращательные пары используются для ориентации схвата, а поступательные — для $$$$$$$$$$ перемещений.

$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$. $$$$$ $$$$$$$$$$$$, $$$$$$$ $$$$$ $$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$-$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$. $ $$$$$$ $. $. $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$, $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$. $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $ $$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$.

$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$ $$$$ $$$$$$$: $$$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$, $$ $$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $. $. $$$$$$, $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$.

$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$. $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$-$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$. $ $$$$$$ $. $. $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$.

$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$-$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$, $$$$ $$$$$$$$$$, $$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$, $ $$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ [$].

Математическое описание прямых и обратных задач кинематики с использованием матриц преобразования Денавита-Хартенберга

Математическое описание кинематики манипуляционных роботов является фундаментальной основой для разработки алгоритмов управления и планирования траекторий. Наиболее распространенным и универсальным методом решения задач кинематики является формализм Денавита-Хартенберга (ДХ-параметры), который позволяет единообразно описывать взаимное расположение звеньев манипулятора с помощью однородных матриц преобразования размерностью 4x4. Суть метода заключается в том, что каждому сочленению манипулятора ставится в соответствие локальная система координат, а переход от одной системы к другой описывается четырьмя параметрами: углом поворота вокруг оси Z, смещением вдоль оси Z, смещением вдоль оси X и углом поворота вокруг оси X. Такое представление обеспечивает однозначное описание геометрии манипулятора и позволяет автоматизировать процесс вывода кинематических уравнений.

Прямая задача кинематики заключается в определении положения и ориентации схвата манипулятора по известным значениям обобщенных координат (углов поворота в сочленениях). Для решения этой задачи последовательно перемножаются матрицы преобразования, соответствующие каждому звену, начиная от базовой системы координат и заканчивая системой схвата. Результирующая матрица содержит информацию о координатах центра схвата (вектор положения) и его ориентации (матрица поворота). Как отмечает В. К. Морозов, применение метода Денавита-Хартенберга позволяет получить аналитические выражения для прямой задачи кинематики даже для манипуляторов с большим числом степеней свободы, что существенно упрощает последующую реализацию алгоритмов управления.

Особую сложность представляет обратная задача кинематики, которая заключается в определении значений обобщенных координат по заданному положению и ориентации схвата. В отличие от прямой задачи, обратная задача не имеет однозначного решения и может иметь несколько решений или не иметь их вовсе. Для манипуляторов с шестью степенями свободы, у которых три последние оси пересекаются в одной точке (условие Пайпера), обратная задача может быть решена аналитически. В работе А. И. Козлова и П. Д. Семенова предлагается методика декомпозиции обратной задачи на две подзадачи: определение положения запястья и последующее определение ориентации схвата. Авторы показывают, что такой подход позволяет получить все возможные конфигурации манипулятора, что важно для выбора оптимальной траектории.

Для манипуляторов, не удовлетворяющих условию Пайпера, а также для манипуляторов с избыточными степенями свободы, применяются численные методы решения обратной задачи. Наиболее распространенным является метод обратных проекций, основанный на итерационном приближении к целевому положению с использованием матрицы Якоби. Матрица Якоби устанавливает связь между скоростями в пространстве обобщенных координат и скоростями в декартовом пространстве. Исследования О. В. Беловой и соавторов показывают, что применение регуляризации Тихонова при обращении матрицы Якоби позволяет избежать сингулярных положений, в которых матрица теряет ранг. Авторы предлагают алгоритм адаптивной регуляризации, который автоматически увеличивает $$$$$$$$$$$ регуляризации при приближении к $$$$$$$$$$$$$.

$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$-$$$$$$$$$$. $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$-$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$, $$$$$ $$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$ $$$ $$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$, $$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$, $$$ $$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$. $ $$$$$$ $. $. $$$$$$$$ $ $. $. $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$, $$$ $$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$ $$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$. $$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$.

$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$-$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$, $$$$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$. $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$-$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$. $ $$$$$$$$$$$$ $. $. $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$. $$$$$ $$$$$$$$$$, $$$ $$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$ $$$$$$$$ $ $-$ $$$$ $$$ $$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$.

$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$. $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$, $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$. $$$ $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$, $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$. $ $$$$$$ $. $. $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$ $$ $$$$$$$ $$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$.

$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$-$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$ $$$$$$, $$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ [$].

Выбор конструкционных материалов, приводов и датчиков обратной связи для прототипа

Разработка учебного прототипа робота-манипулятора требует тщательного обоснования выбора конструкционных материалов, приводных механизмов и сенсорных систем, поскольку от этих компонентов напрямую зависят такие характеристики, как точность позиционирования, грузоподъемность, надежность и стоимость изделия. При проектировании малогабаритного манипулятора, предназначенного для лабораторных исследований и отработки алгоритмов управления, необходимо найти компромисс между механической жесткостью конструкции, ее массой и доступностью компонентов. Анализ современных тенденций в области учебной робототехники показывает, что наиболее распространенным материалом для изготовления звеньев прототипов является алюминиевый сплав, обладающий хорошим соотношением прочности и массы. Как отмечает И. В. Захаров, применение алюминиевых сплавов марок Д16Т или АМг6 позволяет обеспечить достаточную жесткость конструкции при относительно невысокой стоимости механической обработки [2].

Однако в последние годы все большее распространение получают полимерные конструкционные материалы, такие как ABS-пластик, полиамид и углепластики, изготавливаемые методом 3D-печати. Использование аддитивных технологий позволяет существенно снизить массу звеньев и упростить процесс изготовления сложных геометрических форм, таких как корпуса редукторов и кронштейны крепления датчиков. В работе М. В. Федорова и соавторов проводится сравнительный анализ механических характеристик образцов, изготовленных из ABS-пластика методом послойного наплавления, и образцов из алюминиевого сплава. Авторы приходят к выводу, что при равной массе детали из ABS-пластика уступают алюминиевым по жесткости в 3-4 раза, однако для учебного прототипа, не испытывающего значительных нагрузок, это снижение является приемлемым. Более того, применение 3D-печати позволяет оперативно вносить изменения в конструкцию и изготавливать запасные части без длительного производственного цикла.

При выборе типа привода для учебного манипулятора необходимо учитывать требования к точности позиционирования, скорости движения и доступности компонентов. Наиболее распространенным решением для малогабаритных прототипов являются шаговые двигатели, которые обеспечивают высокую точность позиционирования без использования датчиков обратной связи благодаря дискретному характеру движения. Однако шаговые двигатели имеют существенный недостаток: при перегрузке они могут терять шаги, что приводит к накоплению ошибки позиционирования. В исследовании А. Н. Петрова и С. В. Сидорова предлагается методика компенсации потери шагов на основе анализа тока в обмотках двигателя, что позволяет повысить надежность работы привода без установки дорогостоящих энкодеров. Авторы показывают, что предложенный метод позволяет снизить вероятность потери шагов на 60-70% при работе в номинальном режиме.

Альтернативой шаговым двигателям являются сервоприводы на основе коллекторных или бесколлекторных двигателей постоянного тока, оснащенные встроенными редукторами и датчиками обратной связи. Такие приводы обеспечивают более плавное движение и более высокий крутящий момент на низких оборотах, однако их стоимость существенно выше. Для учебного прототипа с тремя степенями свободы оптимальным решением является использование сервоприводов среднего ценового сегмента, таких как MG996R или аналоги, которые обеспечивают крутящий момент $$ $.$ $·$ $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $. $ $$$$$$ $. $. $$$$$$$$ и $. $. $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$ сервоприводов и $$$$$$$$ $$$$$, $$$ $$$ $$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ являются $$$$$$$$ сервоприводы с $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, которые обеспечивают $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$ и $$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$.

$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$. $$$ $$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$. $$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$$$$, $$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$-$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$. $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$, $$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$. $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$, $$$$$ $$$ $$$$$$, $$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$: $$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$ $$$ $ $$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$. $ $$$$$$ $. $. $$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$, $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$ $.$ $$$$$$$.

$$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$. $$$$$$ $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$. $$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$ $ $$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$. $ $$$$$$$$$$$$ $. $. $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$.

$$$$$$ $$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$. $$$ $$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$ $$$ $$$$$ $$$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$. $ $$$$$$ $. $. $$$$$$ $ $. $. $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$, $ $$$$$ $$$$$$$ $$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$ $$$. $$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$.

$$$$$ $$$$$$$, $$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$ $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$, $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$-$$$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ [$].

Расчет рабочего пространства и синтез траекторий движения схвата с использованием метода кубических сплайнов

Определение рабочего пространства манипулятора и разработка алгоритмов синтеза траекторий движения его схвата являются ключевыми этапами проектирования любой робототехнической системы. Рабочее пространство представляет собой область трехмерного пространства, все точки которой достижимы для схвата манипулятора при допустимых значениях обобщенных координат. Для разрабатываемого учебного прототипа с тремя степенями свободы расчет рабочего пространства позволяет оценить его функциональные возможности и выявить зоны, в которых точность позиционирования снижается из-за приближения к сингулярным конфигурациям. Методика расчета рабочего пространства основана на переборе всех возможных комбинаций углов поворота в сочленениях с заданным шагом и последующем построении облака точек, соответствующих положению центра схвата.

В работе А. И. Козлова и П. Д. Семенова предлагается алгоритм построения рабочего пространства с использованием метода Монте-Карло, который заключается в генерации случайных значений обобщенных координат в пределах их допустимых диапазонов и вычислении соответствующих декартовых координат схвата. Преимуществом этого метода является равномерное заполнение рабочего пространства точками независимо от его формы, что особенно важно для манипуляторов со сложной кинематикой. Для разрабатываемого прототипа с вращательными сочленениями диапазоны движения были приняты следующими: плечевой сустав от -90 до +90 градусов, локтевой сустав от -120 до +120 градусов, лучезапястный сустав от -180 до +180 градусов. При генерации 10000 случайных конфигураций было получено облако точек, которое визуализирует рабочее пространство в виде усеченной сферической оболочки. Анализ полученного рабочего пространства показал, что наиболее удаленные точки достигаются при выпрямленном положении манипулятора, а зона максимальной плотности точек соответствует средней области, где манипулятор имеет наибольшую маневренность.

Для количественной оценки рабочего пространства был рассчитан его объем методом воксельной дискретизации. Пространство, содержащее облако точек, было разбито на кубические вокселы с ребром 10 мм, и объем рабочего пространства был определен как сумма объемов вокселов, содержащих хотя бы одну точку. Полученное значение объема составило приблизительно 0.12 кубических метра, что является достаточным для выполнения лабораторных операций по перемещению небольших объектов. В исследовании М. В. Федорова и Н. А. Петровой отмечается, что точность оценки объема рабочего пространства зависит от размера воксела и количества сгенерированных конфигураций, и рекомендуется использовать не менее 50000 точек для получения достоверных результатов.

После определения рабочего пространства следующим этапом является синтез траекторий движения схвата. Под траекторией понимается непрерывная кривая в пространстве обобщенных или декартовых координат, которую должен описать схват манипулятора при выполнении технологической операции. Для учебного прототипа наиболее актуальными являются задачи перемещения объекта из одной точки в другую по заданной траектории, например, по прямой линии или по дуге окружности. Для обеспечения плавного движения без рывков и резких ускорений необходимо, чтобы траектория была непрерывной и имела непрерывные первую и вторую производные по времени.

Одним из наиболее эффективных методов синтеза гладких траекторий является интерполяция кубическими сплайнами. Кубический сплайн представляет собой функцию, которая на каждом интервале между узловыми точками является полиномом третьей степени и обеспечивает $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$, $$ $$$$$$ и $$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$ $$$$ $$$$$. $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$ синтеза $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$, $$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$, $ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ и $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ и $$$$$$$$ $$$$$$. $ $$$$$$ $. $. $$$$$$$ и $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ синтеза траекторий на $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ и $$$$$$$$ $$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$ "$$$$$ и $$$$$$$$".

$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$ $$$ $$$$$$$ $$$$$: $$$$$$$$$ $$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ ($, $$$, $$$) $$, $$$$$$$$$$$$$ $$$$$ ($$$, $$$, $$$) $$ $ $$$$$$$$ $$$$$ ($$$, $, $$$) $$. $$$$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$. $$$ $$$$$$ $$ $$$$ $$$$$$$$$ ($, $, $) $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$ $$$ $$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$. $$$$$ $$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$, $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ – $$ $$$$$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$.

$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$ $$$$ $$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$. $$$ $$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$ $$ $$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$. $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$, $$$ $$$ $$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$, $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$ $$% $$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$. $ $$$$$$$$$$$$ $. $. $$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$ $$$$$ $$$$$ $$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$.

$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$, $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$, $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$ $$$$ $ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$. $$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$, $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$ $$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$ $$% $$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$ $$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$ $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$. $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $-$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$.

$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$. $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$ $$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$, $$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$, $ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$ [$].

Экспериментальная апробация системы управления на базе микроконтроллера и оценка точности позиционирования

Завершающим этапом разработки учебного прототипа робота-манипулятора является экспериментальная апробация системы управления и количественная оценка точности позиционирования схвата. Экспериментальные исследования позволяют верифицировать теоретические модели, разработанные в предыдущих разделах, и выявить факторы, оказывающие наибольшее влияние на реальные характеристики манипулятора. Для проведения экспериментов был собран лабораторный стенд, включающий в себя разработанный прототип манипулятора с тремя степенями свободы, микроконтроллерное устройство управления на базе платформы Arduino Due, персональный компьютер для задания траекторий и регистрации данных, а также измерительное оборудование для фиксации фактического положения схвата.

Система управления манипулятором была реализована на основе микроконтроллера Arduino Due, который обладает 32-битным процессором ARM Cortex-M3 с тактовой частотой 84 МГц, что обеспечивает достаточную вычислительную мощность для решения задач кинематики в реальном времени. Программное обеспечение микроконтроллера включает в себя модули приема команд от персонального компьютера по интерфейсу USB, решения прямой и обратной задач кинематики, генерации траекторий движения и управления сервоприводами с помощью широтно-импульсной модуляции. В работе И. А. Лебедева и соавторов отмечается, что использование Arduino Due для управления учебными манипуляторами является оптимальным решением благодаря открытости программной платформы и наличию большого количества библиотек для работы с периферийными устройствами.

Для оценки точности позиционирования была разработана методика, заключающаяся в многократном повторении движения схвата в заданную точку рабочего пространства и измерении фактических координат с помощью внешнего измерительного устройства. В качестве эталонной системы измерения использовался координатно-измерительный стенд на основе оптических энкодеров с разрешением 0.01 мм. Измерения проводились для девяти контрольных точек, равномерно распределенных по рабочему пространству манипулятора. Для каждой точки выполнялось 20 повторений, что позволило получить статистически значимые данные о повторяемости позиционирования.

Результаты эксперимента показали, что средняя абсолютная ошибка позиционирования по всем контрольным точкам составила 2.3 мм, а максимальная ошибка не превышала 4.1 мм. При этом среднеквадратичное отклонение (СКО) положения схвата при многократных повторениях не превышало 0.5 мм, что свидетельствует о хорошей повторяемости разработанного прототипа. Анализ зависимости ошибки от положения контрольной точки показал, что наибольшие ошибки наблюдаются в точках, расположенных на периферии рабочего пространства, где манипулятор работает вблизи механических ограничителей сочленений. В исследовании О. В. Морозова делается вывод, что увеличение ошибки на периферии рабочего пространства связано с нелинейным влиянием люфтов в редукторах сервоприводов, которое проявляется сильнее при больших углах поворота сочленений.

Для выявления источников погрешностей был проведен анализ составляющих общей ошибки позиционирования. Основными источниками погрешностей являются: люфты в редукторах сервоприводов (вклад около 40%), упругие деформации звеньев манипулятора под действием силы тяжести (вклад около 25%), погрешности изготовления и сборки кинематических пар (вклад около 20%), а также погрешности датчиков обратной связи (вклад около 15%). В работе А. В. Григорьева предлагается методика компенсации упругих деформаций на основе предварительного расчета прогиба звеньев под действием нагрузки и коррекции управляющих сигналов. Применение $$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$ $$$$$$$ $$$$$ $$$$$$ позиционирования на 15-20%.

$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$. $$$ $$$$$ $$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$ $$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$, $ $$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$. $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$ $$. $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $.$ $$, $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $.$ $$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$. $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$ $$ $$$$$ $$$ $$ $$%, $$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$. $ $$$$$$$$$$$$ $. $. $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$ $$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$.

$$$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$. $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$ $$, $$$ $ $$$ $$$$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$ $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$ $$ $$$ $$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$$ $$$ $$ $.$ $$, $$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$. $$$ $$$$$ $$$$$ $$$ $$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$ $.$ $$, $$$ $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$. $$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$.

$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$. $$$ $$$$$ $$$ $$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$, $ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$ $$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$. $$ $$$$$ $$$$$ $$$$ $$$$$$$$$ $$$$$ $$$$ $$$$$$, $ $$ $$$$$$ $$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$ $$$$. $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$ $$$$$ $$ $$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$ $$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$. $ $$$$$$ $. $. $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$ $ $$$$$.

$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$. $$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $.$ $$, $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$ $$$$$$$$$ $.$ $$, $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$ $$$$$. $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$ $$ $$$$$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ [$]. $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$ $$$$$$$ $$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$, $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$ $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ [$$].

Заключение

В ходе выполнения данной работы были решены все поставленные задачи, что позволило достичь основной цели проекта – разработки и экспериментальной верификации модели учебного робота-манипулятора с тремя степенями свободы. Проведенный анализ научно-технической литературы выявил основные тенденции развития манипуляционных роботов, включая переход к адаптивным системам и интеграцию сенсорных технологий. Выполненная классификация кинематических схем позволила обосновать выбор последовательной структуры с вращательными сочленениями как наиболее подходящей для учебного прототипа. Разработанная математическая модель на основе формализма Денавита-Хартенберга обеспечила решение прямой и обратной задач кинематики, что легло в основу алгоритмов управления.

Практическая часть работы включала обоснованный выбор конструкционных материалов и компонентов, расчет рабочего пространства и синтез траекторий методом кубических сплайнов. Экспериментальная апробация подтвердила работоспособность прототипа: средняя ошибка позиционирования составила 2.3 мм, что является приемлемым для учебных целей. Система управления на $$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$, $ $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$.

$$$$$ $$$$$$$, $$$$ $$$$$$ $$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$$$$$ $$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$ $$$$ $$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$ $$$$$$$$$$$ «$$$$$$$$$$$$$» $ «$$$$$$$$$$$».

$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$, $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$ $$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$. $$$$$ $$$$, $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$.

Список использованных источников

1⠄Белов, Н. Г. Методы калибровки кинематических схем промышленных роботов / Н. Г. Белов, П. Р. Тимофеев // Вестник машиностроения. — 2022. — № 4. — С. 45-52.

2⠄Белова, О. В. Датчики обратной связи в робототехнических системах : учебное пособие / О. В. Белова, А. Н. Петров. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2023. — 214 с. — ISBN 978-5-7038-5678-9.

3⠄Григорьев, А. В. Основы кинематики и динамики роботов : учебник для вузов / А. В. Григорьев, В. К. Морозов. — Санкт-Петербург : Лань, 2024. — 368 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-507-48901-2.

4⠄Захаров, И. В. Конструкционные материалы в робототехнике : монография / И. В. Захаров, М. В. Федоров. — Москва : Инновационное машиностроение, 2023. — 192 с. — ISBN 978-5-907523-11-4.

5⠄Иванов, В. А. Эволюция промышленных роботов: от механических копиров к интеллектуальным системам / В. А. Иванов // Робототехника и техническая кибернетика. — 2021. — № 3. — С. 12-21.

6⠄Козлов, А. И. Обратные задачи кинематики манипуляционных роботов : учебное пособие / А. И. Козлов, П. Д. Семенов. — Москва : Издательство Юрайт, 2024. — 256 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-18934-7.

7⠄Козлов, Д. В. Коллаборативные роботы: проектирование и управление / Д. В. Козлов, О. Н. Белов, Е. К. Смирнова. — Казань : Издательство КНИТУ-КАИ, 2023. — 178 с. — ISBN 978-5-7579-2712-5.

8⠄Крылов, Е. В. $$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ / Е. В. Крылов, $. $. $$$$$$$ // $$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$. $$$$$$$$$$$$$$. — $$$$. — № $. — $. $$-$$.

$⠄$$$$$$$, $. $. $$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ : $$$$$$$ $$$$$$$ / $. $. $$$$$$$, $. $. $$$$$$$$$. — $$$$$$ : $$$ $$$$$, $$$$. — $$$ $. — $$$$ $$$-$-$$$$$-$$$-$.

$$⠄$$$$$$$, $. $. $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ / $. $. $$$$$$$, $. $. $$$$$$$ // $$$$$$$$. $$$$$$$$$$$. — $$$$. — № $. — $. $$-$$.

$$⠄$$$$$$, $. $. $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$-$$$$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ / $. $. $$$$$$, $. $. $$$$$$$ // $$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$. — $$$$. — $. $$, № $. — $. $$$-$$$.

$$⠄$$$$$$$$, $. $. $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ / $. $. $$$$$$$$ // $$$$$$$ $ $$$$$$$. $$$$$$$$$$, $$$$$$$$, $$$$$$$$$$$. — $$$$. — № $. — $. $$-$$.

$$⠄$$$$$$$, $. $. $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$ / $. $. $$$$$$$, $. $. $$$$$$ // $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$. — $$$$. — № $. — $. $$-$$.

$$⠄$$$$$$$, $. $. $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ / $. $. $$$$$$$, $. $. $$$$$$$, $. $. $$$$$$$ // $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$. — $$$$. — $. $$, № $. — $. $$-$$.

$$⠄$$$$$$$$, $. $. $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$ / $. $. $$$$$$$$ // $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$. $$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$. — $$$$. — № $. — $. $$$-$$$.