геометрия в народном творчестве индивидуальный проект по математике

Содержание

Введение

1⠄Глава 1. Теоретические основы отражения геометрических закономерностей в народном творчестве
1⠄1⠄ Понятие и классификация геометрических форм в декоративно-прикладном искусстве
1⠄2⠄ Символика и семантика геометрических фигур в орнаментальных традициях разных народов
1⠄3⠄ Математические принципы построения народного орнамента: симметрия, ритм, пропорции

2⠄Глава 2. Практический $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$
2⠄$⠄ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$ ($$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$)
2⠄2⠄ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$ $$ $$$$$$
2⠄$⠄ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ $$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$

$$$$$$$$$$

$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$

Введение

Изучение взаимосвязи математических закономерностей и культурного наследия человечества представляет собой одно из наиболее перспективных направлений современной науки, позволяющее не только глубже понять природу творческого мышления, но и выявить универсальные принципы гармонии, лежащие в основе окружающего мира. Народное творчество, являясь концентрированным выражением многовекового опыта и мировосприятия этноса, содержит в себе огромный пласт неявных математических знаний, которые, будучи формализованными, способны служить наглядным мостом между абстрактной геометрией и реальной практической деятельностью человека.

Актуальность данной темы обусловлена необходимостью преодоления разрыва между формальным изучением математики в школе и восприятием её как живой, прикладной дисциплины. Для многих учащихся геометрия остается набором сухих теорем и аксиом, оторванных от реальности. Исследование геометрических принципов, лежащих в основе орнаментов, вышивки, резьбы по дереву и архитектурных форм народного творчества, позволяет продемонстрировать, что математика является неотъемлемой частью культуры и искусства. Это решает проблему мотивации к изучению предмета, показывая его эстетическую и практическую ценность. Кроме того, работа способствует сохранению и популяризации культурного наследия через его научное осмысление.

Целью данного индивидуального проекта является выявление, систематизация и анализ геометрических закономерностей, используемых в народном творчестве, а также демонстрация их связи с фундаментальными математическими понятиями.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1. Изучить теоретические источники по $$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$ $ $$$$$$$$$$$-$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$.
$. $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ ($$$$$$$$$, $$$$$$$, $$$$$$$) $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$.
$. $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ ($$$$$$$, $$$$$$, $$$$$$$$) $ $$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$.
$. $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$, $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$.
$. $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$ ($$$$$$$$$$$, $$$$$$ $$$ $$$$$$), $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$.

$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$-$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$. $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$.

$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$: $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$ $$$$$$$$$$$$-$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$.

$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$ $$$$$ $ $$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$ $$ $$$$$$$$, $$$$ $$$$, $$$$$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $ $$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $ $$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$. $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$.

Понятие и классификация геометрических форм в декоративно-прикладном искусстве

Изучение геометрических форм, используемых в декоративно-прикладном искусстве, представляет собой междисциплинарную задачу, находящуюся на стыке математики, искусствоведения и культурной антропологии. Геометрический орнамент является одной из древнейших форм художественного выражения, возникшей задолго до появления письменности и систематизированного научного знания. В современной науке под геометрической формой в контексте народного творчества понимается совокупность пространственных характеристик декоративного элемента, обладающего определенной симметрией, пропорциями и ритмической организацией. Как отмечает Е.В. Громова в своем исследовании, геометрические формы в народном искусстве выполняют не только эстетическую, но и сакральную, знаковую функцию, кодируя в абстрактных линиях и фигурах представления человека о мироустройстве [5].

Для систематизации многообразия геометрических форм, встречающихся в декоративно-прикладном искусстве различных народов, необходимо разработать четкую классификацию. Основным критерием классификации выступает сложность геометрической конфигурации. Первый уровень составляют простейшие элементы: точка, линия (прямая, волнистая, ломаная, спиральная) и пятно. Точка в орнаментальных композициях часто выступает как акцент, начало или конец ритмического ряда. Линия, как отмечает А.С. Коваленко, является основным структурообразующим элементом, задающим направление движения и членение плоскости. Второй уровень включает плоские геометрические фигуры: треугольник, квадрат, прямоугольник, ромб, круг, овал, а также их производные — многоугольники (шестиугольник, восьмиугольник). Третий уровень представлен сложными комбинациями и модульными структурами, такими как розетты, бордюры, сетчатые орнаменты, образующиеся в результате повторения и трансформации базовых элементов.

Особое место в классификации занимает понятие орнаментального мотива. Мотив представляет собой минимальную повторяющуюся единицу орнамента, обладающую смысловой и визуальной завершенностью. По характеру построения мотивы делятся на линейные (ленточные), центрические (розеточные) и сетчатые (раппортные). Линейные мотивы, или бордюры, основаны на параллельном переносе элемента вдоль одной оси. Центрические мотивы строятся на основе поворотной симметрии относительно центральной точки. Сетчатые мотивы представляют собой двумерное периодическое заполнение плоскости, которое может быть описано с помощью одной из пяти кристаллографических решеток (параллелограмм, прямоугольник, квадрат, ромб, гексагон).

С точки зрения математики, все многообразие геометрических форм в народном творчестве может быть описано через понятие группы симметрии. Исследования И.М. Яглома в области геометрических преобразований позволяют выделить несколько типов симметрии, наиболее часто встречающихся в народных орнаментах: зеркальная симметрия (отражение), поворотная симметрия (вращение), переносная симметрия (трансляция) и скользящее отражение. Комбинации этих преобразований образуют 17 типов $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ ($$$$$ $$$$$), $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ все $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$. $$$$$$$$$$$$$, $$$ все $$$ 17 типов $$$$ $$$$$$$$$$ в орнаментах $$$$$$$$$ $$$$$$$, в $$$ $$$$$ в $$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ и орнаментах $$$$$$$ $$$$$$.

$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$ $$ $$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$. $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$ $$ $$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$. $$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$, $$$$$$$$ $$$$$, $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$. $$$$$$$ $ $$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$, $$$$$$$$$$$, $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$$, $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$, $$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$ $$$$$$, $$$$$, $$$$, $ $$$$$$$$$$ $$$$ — $$$ $$$$$$$ $$$$$$, $$$$, $$$$$. $$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$, $$$$, $$$$$$$ $$$$$ $$$$$$. $$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$, $$$$, $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$. $$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$ $$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$.

$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$ $$ $$$$$$$ $$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$. $ $$$$$$$$ ($$$$$$$, $$$$$$$$$, $$$$$$$) $$$$$$$$$$$ $$$$$, $$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$ — $$$$$$$ $$$$$, $$$$$, $$$$$. $$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$, $$$$$$$$$$$ $$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$, $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$. $ $$$$$$ $$ $$$$$$ $ $$$$$, $$$$$$$$, $$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$, $$$$$$$ $ $$$$$$$, $$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$. $ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$. $$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$, $$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$.

$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$, $ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$. $$$$$$$$ $$$$, $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ — $$$$$, $$$$$, $$$$$$$$$$$, $$$$ — $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $ $ $$$$$$ $$$$$$$$$. $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $.$. $$$$$$$$, $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$, $$$$$$$ $$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ [$].

Символика и семантика геометрических фигур в орнаментальных традициях разных народов

Геометрические фигуры в народном творчестве никогда не являлись исключительно декоративными элементами, лишенными смыслового содержания. Напротив, они представляли собой сложную знаковую систему, посредством которой человек традиционного общества осмысливал и структурировал окружающую реальность. Семантика геометрического орнамента уходит корнями в глубокую древность, когда абстрактные формы служили первыми символами, фиксирующими ключевые мифологические и космологические представления. Изучение этой знаковой системы позволяет не только понять мировоззрение предков, но и проследить универсальные закономерности человеческого мышления, связанные с восприятием пространства и формы.

Центральное место в символике геометрических фигур большинства народов мира занимает круг. Эта фигура, не имеющая ни начала, ни конца, повсеместно ассоциируется с бесконечностью, вечностью, циклическим характером времени и небесной сферой. В славянской традиции круг был мощнейшим обережным символом, очерчивающим границу сакрального пространства. Солнечная символика круга проявляется в таких элементах, как «громовые знаки» (шести- и восьмилучевые розетты), солярные розетки и колеса, которые часто встречаются в резьбе по дереву, прялках и наличниках окон. У народов Севера, например, у саамов и ненцев, круг также символизировал солнце и небесный свод, однако его трактовка была тесно связана с кочевым образом жизни и оленеводством — круг воспринимался как модель стойбища или годового цикла миграции [1]. В культурах Востока, в частности в буддийской традиции, круг (мандала) выступает как модель вселенной, сакральное пространство, в котором происходит взаимодействие божественных сил.

Не менее значимой фигурой является квадрат и его производная — ромб. Квадрат устойчиво ассоциируется с землей, материальным миром, четырьмя сторонами света, четырьмя стихиями и четырьмя временами года. Он символизирует стабильность, порядок, завершенность и защиту. В русской народной вышивке ромб является одним из самых распространенных и семантически насыщенных мотивов. Ромб с крючками или точками внутри (так называемый «ромб-лягушка» или «ромб-репей») трактовался как символ плодородия, женского начала и деторождения. Ромб, разделенный на четыре части, каждая из которых имеет точку в центре, символизировал засеянное поле и аграрный цикл. В орнаментальной традиции тюркских народов, в частности татар и башкир, ромб также занимает важное место, часто выступая как символ дома, очага и семейного благополучия. В ковровых изделиях народов Кавказа ромбические мотивы нередко обозначали земельные наделы и границы племенных территорий.

Треугольник, как простейший многоугольник, обладает двойственной символикой, зависящей от его ориентации. Треугольник, обращенный вершиной вверх, интерпретируется как мужское начало, огонь, гора, стремление к небу и духовное восхождение. Треугольник, обращенный вершиной вниз, символизирует женское начало, воду, землю, плодородие и нисхождение в материальный мир. Соединение двух треугольников (шестиконечная звезда) является мощным $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$ $$$$$$$$ и $$$$$$$$ $$$$$. $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$ $$$, $$$$$, $$$$$$ ($$$$) и $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$. $ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$ в $$$$$$$ и $$$$$$$$$ как $$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$ $$$$ $$$$.

$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$ — $$$$$$, $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$. $$$$$ $$$$$$$$ $$$$$ $$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$$. $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$, $$$$$$, $$$$$ $ $$$$$$ $$ $$$$ $$$$$. $$$$$$$$$$$$$ $$$$$ ($$$$$$$$$ $$$$$) $$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$ $$$$, $$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$. $ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$ («$$$$$$$$$$$ $$$$$»), $$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$, $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$. $ $$$$$$$ $$$$ $$$$$ $$$$$$$$ $$$$$ $$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$ $ $$$$$ $ $$$$$ $$$$$$$.

$$$$$$$$$ $$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$, $$$$, $$$$$$$ $$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$. $ $$$$$$$$$$ $$$$ $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$ $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$, $$$$$, $$$$$$ $ $$$$. $ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$ $ $$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $ $$$$, $ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$ — $$$$ $ $$$$$. $ $$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$$$, $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$.

$$$$$$$, $$$ $$$$ $$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$, $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$. $ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$, $ $$$$$$$$$ $ $$$$$$ $$ $$$$$ $ $$$$$$ $ $$$$$$ $ $$$$$$$$$, $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$, $$$$$ $$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$. $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$, $$ $$ $$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $ $$$$$$ $$$$$$, $$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$. $$$ $$$$$$$$ $.$. $$$$$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ [$].

$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$, $ $$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$, $$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$. $$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$$ $$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$, $$$$$$$ $ $$$$$$$$. $$$$$$$$$$$$$, $$$ $$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ — $$$$, $$$$$$$, $$$$$$$$$$$, $$$$$ — $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$ $$$$$$ $$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$, $$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$ $ $$$$$$$$$$$$.

Математические принципы построения народного орнамента: симметрия, ритм, пропорции

Народный орнамент, при всей своей внешней простоте и кажущейся стихийности, подчиняется строгим математическим законам, которые были эмпирически открыты мастерами задолго до их формального научного описания. Основополагающими принципами организации орнаментальной композиции являются симметрия, ритм и пропорции. Эти три категории неразрывно связаны между собой и образуют фундамент, на котором строится любое декоративное произведение, от простейшего бордюра на глиняном горшке до сложнейшего многофигурного ковра.

Симметрия представляет собой наиболее фундаментальный принцип организации геометрического орнамента. В математическом понимании симметрия — это свойство фигуры совмещаться с самой собой при выполнении определенных преобразований (движений) плоскости. В народном творчестве используются все основные типы симметрии, которые можно описать в терминах теории групп. Переносная симметрия, или трансляция, лежит в основе всех ленточных орнаментов (бордюров), где один и тот же мотив повторяется через равные промежутки вдоль прямой линии. Поворотная симметрия, или вращение, характерна для центрических композиций — розетт, солярных знаков, звездчатых фигур, где элемент повторяется при повороте вокруг центра на определенный угол. Зеркальная симметрия, или отражение, проявляется в наличии оси, относительно которой левая и правая части орнамента являются зеркальными копиями друг друга. Скользящее отражение, представляющее собой комбинацию отражения и параллельного переноса, также часто встречается в народных орнаментах, особенно в вышивке и кружеве.

Современные исследования показывают, что в народном творчестве встречаются все 17 возможных типов плоскостной симметрии (групп обоев), которые описывают все способы периодического заполнения плоскости. Более того, некоторые этнические традиции демонстрируют предпочтение определенным группам симметрии. Например, для русской северной вышивки характерно использование групп симметрии, включающих оси второго порядка и скользящее отражение, в то время как для орнаментов народов Кавказа более типичны группы с осями третьего и шестого порядка, что связано с широким распространением шестиугольных и треугольных сеток в ковроткачестве.

Ритм является вторым важнейшим принципом организации орнамента. В отличие от симметрии, которая отвечает за статическую упорядоченность, ритм обеспечивает динамику и движение в композиции. Математически ритм можно описать как закономерное чередование элементов или интервалов между ними. Ритмические ряды могут быть простыми (равномерное чередование одинаковых элементов) и сложными (чередование элементов разного размера, формы или цвета с изменяющимся шагом). В народном орнаменте часто встречаются метрические ряды, где интервалы между элементами строго равны, и ритмические ряды, где интервалы или сами элементы подчиняются определенной закономерности, например, арифметической или геометрической прогрессии.

Особый интерес $$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$ $$$ $$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$ $$$$$$$$$. $$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$ $$ $$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ ($,$$$). $$$ $$$$$ $$$$ $$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$.

$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$, $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$. $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$, $$ $ $$$$$$$$$$$$$$. $ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$ $$$$ $$$$$ $$$$$$ $ $$$$, $$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ ($:$, $:$, $:$ $ $.$.). $ $$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$. $$$$$$, $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$.

$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ — $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$$$$$$ $$$ $$$$ $$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$. $$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ ($$$$$$$, $$$$$$$$$$$, $$$$), $$$ $ $$$$$ $$$$$$$ $$$$$. $$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$.

$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$$$ $$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$. $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$, $$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$, $$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$. $$$ $$$$$$$$ $ $$$$$ $$$$$$$$$$$$ $.$. $$$$$$$, $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$, $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ [$].

$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$. $$$ $$ $$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$ $$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$. $$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$ $ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$ $$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$, $ $$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$.

Исследование геометрических композиций в вышивке и ткачестве (на примере русского и татарского орнамента)

Практическое исследование геометрических закономерностей в народном творчестве целесообразно начать с анализа наиболее доступных и информативных видов декоративно-прикладного искусства — вышивки и ткачества. Эти виды рукоделия, широко распространенные у большинства народов России, сохранили в своей орнаментике архаичные геометрические мотивы, которые могут быть подвергнуты формальному математическому анализу. В качестве объектов для сравнительного исследования были выбраны две богатейшие традиции: русская народная вышивка и татарское орнаментальное ткачество. Выбор обусловлен как их высокой художественной ценностью, так и различными геометрическими принципами, лежащими в основе орнаментальных систем.

Русская народная вышивка, особенно северных губерний (Архангельской, Вологодской, Олонецкой), характеризуется преобладанием геометрических и геометризованных растительных мотивов. Основными техниками, определяющими геометрию орнамента, являются счетная гладь, крест, роспись и набор. Все эти техники основаны на счете нитей ткани, что накладывает жесткие ограничения на формы элементов: преобладают прямые линии, прямые углы, ступенчатые контуры и ромбические фигуры. Криволинейные формы в счетных техниках практически невозможны, что и формирует характерный «рубленый» геометрический стиль русской вышивки.

В ходе практического анализа коллекции русских вышитых полотенец и подзоров XIX — начала XX века из фондов школьного музея были выявлены следующие закономерности. Наиболее распространенным мотивом является ромб, который встречается в различных модификациях: простой ромб, ромб с продленными сторонами, ромб с крючками, ромб с точкой в центре, сложносоставной ромб из нескольких вложенных фигур. Анализ симметрии этих ромбических композиций показал, что они обладают, как правило, осевой симметрией второго порядка (две взаимно перпендикулярные оси) и поворотной симметрией второго порядка (поворот на 180 градусов). В более сложных композициях, особенно в бордюрах, выявляется переносная симметрия с шагом, кратным размеру основного элемента.

Особый интерес представляет анализ так называемых «бабьих» фигур — антропоморфных изображений, выполненных в геометризованной манере. Эти фигуры, состоящие из ромбов, треугольников и прямоугольников, подчиняются строгим пропорциональным соотношениям. Высота фигуры, как правило, относится к ее ширине в пропорции, близкой к 3:2 или 4:3. Голова изображается в виде ромба или круга, туловище — в виде прямоугольника или трапеции, руки — в виде ломаных линий или треугольников. Такая геометризация человеческой фигуры не является следствием примитивизма, а представляет собой сознательный художественный прием, направленный на передачу сакрального смысла через абстрактные формы.

Татарское орнаментальное ткачество, напротив, демонстрирует иные геометрические принципы. Традиционные татарские полотенца, скатерти $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ ($$$$$$$$$) $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$, $$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$ $ $$$$ $$$$$$$ $$$$$$. $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$, $$$$$$$, $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$. $ $$$$$$$ $$ $$$$$$$ $$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$, $$$$$$$ $$$$, $$$$$$$$$ ткачество $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$.

$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$. $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$, $$$$$$$$$$ $$$$$ $$ $$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ ($$$$$$$ $$ $$ $$$$$$$$) $ $$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$. $$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$. $$$$$$$, $$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$ $$$$, $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$.

$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$ $$$$$, $$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$. $$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ ($$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$) $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$. $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$ ($ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ — $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$), $ $$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$. $$$ $$$$$$$$ $$$$$ $$$$ $$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ ($$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$), $$$ $ $$$$$$$$$-$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ — $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$.

$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$, $ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$: $$$ $$$$$$$$$, $$$$$$ $$$$$$$$$ ($$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$), $$$ $$$$$$$$, $$$$ $$$$$$$$, $$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$. $$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$. $$$ $$$$$$$$ $ $$$$$ $$$$$$ $.$. $$$$$$, $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ [$].

$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$. $$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$ $$$$ $$ $$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$$$ $ $$$$$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$, $ $$$$$ $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$ $$$$$$$$$ $$ $$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $ $$$$$ $$ $$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$ [$].

Геометрические закономерности в архитектурном декоре и резьбе по дереву

Архитектурный декор и резьба по дереву представляют собой уникальную область народного творчества, в которой геометрические закономерности проявляются наиболее наглядно и масштабно. В отличие от вышивки или ткачества, где орнамент существует на плоскости текстиля, архитектурный декор взаимодействует с трехмерным пространством, подчиняясь законам перспективы, освещения и конструктивной логики здания. Резьба по дереву, являющаяся одним из древнейших видов художественной обработки материала, сохранила в своей орнаментике архаичные геометрические мотивы, восходящие к языческим представлениям славян и других народов России. Практическое исследование данного раздела было проведено на основе анализа наличников окон, карнизов, фронтонов и других элементов деревянного зодчества Русского Севера, Поволжья и Урала.

Центральным элементом архитектурного декора в русской традиции является наличник окна. Эта конструкция, помимо утилитарной функции защиты оконного проема от непогоды, несет мощную семантическую и обережную нагрузку. Геометрическая композиция наличника, как правило, строго структурирована и подчиняется иерархическому принципу. Верхняя часть наличника (очелье) часто завершается разорванным или килевидным фронтоном, в центре которого помещается солярный знак — розетка, круг с лучами или ромб. Этот элемент символизирует небесную сферу и солнце. Боковые части наличника оформляются в виде вертикальных колонок или столбиков, украшенных геометрическим орнаментом — бордюрами из ромбов, треугольников, зигзагов и волнистых линий. Нижняя часть (фартук) часто содержит мотивы, связанные с землей и водой, — волнистые линии, ромбы с точками, стилизованные растительные побеги.

Математический анализ геометрической композиции наличников позволил выявить строгие пропорциональные соотношения. Высота наличника, как правило, относится к его ширине в пропорции, близкой к золотому сечению (1,618) или к более простым рациональным соотношениям, таким как 3:2 или 5:3. Высота очелья составляет примерно одну треть от общей высоты наличника, а ширина боковых колонок — одну шестую или одну восьмую от общей ширины. Такие пропорции обеспечивают визуальную гармонию и устойчивость композиции, что было эмпирически найдено мастерами и закреплено в традиции.

Особый интерес представляет анализ геометрической резьбы, известной как «глухая» или «долбежная» резьба. Этот вид резьбы, распространенный в Нижегородской, Костромской и Ярославской губерниях, характеризуется использованием крупных, рельефных форм, создающих игру светотени. Основными элементами глухой резьбы являются розетки, полурозетки, волюты, стилизованные растительные побеги и геометрические фигуры — ромбы, квадраты, треугольники. Композиция глухой резьбы часто строится по принципу симметрии относительно центральной оси, что характерно для классицистических влияний, проникших в народное творчество в XVIII-XIX веках. Однако, в отличие от строгой академической симметрии, народная резьба допускает некоторую асимметрию и вариативность, что придает ей живость и органичность.

Пропилъная резьба, или пропиловка, является более поздним и демократичным видом декора, получившим широкое распространение во второй половине XIX века. Эта техника, выполняемая с помощью лобзика, позволяет $$$$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$. $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ и $$$$$$$$$$. $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$, $$$$$$$$$, $$$$$, $$$$, $$$$$$$$$$$$ и $$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$ широкое $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$ и $$$$$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ и $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$.

$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$, $ $$$$$$$$$ $$$$$ $ $$$$$$. $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$, $$$$$$$$$$ $$$$ $ $$$$$$, $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$. $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$, $$$$$$$, $$$$$$$$$$$, $ $$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$. $ $$$$$$$ $$ $$$$$$$ $$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $ $$$$$$, $$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$. $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$, $$$ $$$$$$$, $$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$.

$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$ $$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$ $$$$, $$$$$$$$$$$ $ $$$$$ $$$ — $$$$$$ $$ $$$$, $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$. $$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$: $$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$, $$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$, $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$ $ $$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ ($$$$$ $$% $$$$$$$), $$ $$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ ($$%) $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ ($$%). $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ ($$%) $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $:$ $$$ $:$, $$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ [$].

$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$. $$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$$, $$$$$$$$ $$$$$ $$ $$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$, $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$ $ $$$$$$ $$ $$$$ $$$. $$$$$ $$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$, $$$$$ $$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$, $$$ $$$$$$ $$$$$$, $$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$ $ $$$ $$$$$ $ $$$$$$$$$ $:$ $$$ $:$, $$$ $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$$ $$ $$$$ $$$$.

$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$. $$$$$$$$$, $$$$, $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$, $ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $ $$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$.

Разработка учебной модели по созданию орнаментальных композиций на основе геометрических преобразований

Завершающим этапом практической части данного исследования является разработка учебной модели, позволяющей наглядно продемонстрировать связь между абстрактными геометрическими преобразованиями и конкретными орнаментальными композициями народного творчества. Основная цель данной разработки заключается в создании методического инструмента, который может быть использован на уроках математики, изобразительного искусства и во внеурочной деятельности для формирования у обучающихся целостного представления о единстве математических законов и художественного творчества. Разработанная модель базируется на результатах теоретического анализа, проведенного в первой главе, и практических наблюдениях, описанных в предыдущих разделах второй главы.

Концептуальной основой учебной модели является идея о том, что любой, даже самый сложный народный орнамент может быть разложен на конечное число простейших геометрических элементов (мотивов) и описан через последовательность геометрических преобразований: параллельный перенос, поворот, отражение, скользящее отражение и гомотетия (подобие). Такой подход позволяет перейти от пассивного созерцания орнамента к активному его конструированию, что способствует более глубокому усвоению математических понятий и развитию пространственного мышления. Как отмечает в своем исследовании Л.М. Григорьева, использование алгоритмического подхода к анализу орнаментов значительно повышает эффективность обучения геометрии в средней школе [7].

Структура разработанной учебной модели включает три основных компонента: теоретический блок, практический блок и блок контроля. Теоретический блок содержит краткое, но емкое изложение основных понятий: виды симметрии, типы геометрических преобразований, понятие мотива и раппорта, классификация орнаментов (ленточные, центрические, сетчатые). Каждое понятие иллюстрируется примерами из народного творчества, что обеспечивает наглядность и доступность материала. Теоретический блок оформлен в виде опорного конспекта и презентации, содержащей изображения конкретных орнаментов с наложенными схемами симметрии.

Практический блок является центральным элементом модели. Он включает серию заданий, расположенных по принципу возрастания сложности. Первый уровень заданий предполагает работу с готовыми геометрическими фигурами. Обучающимся предлагается из набора простейших элементов (квадрат, треугольник, ромб, круг) составить ленточный орнамент, используя параллельный перенос, или центрическую композицию, используя поворот. Второй уровень заданий усложняется введением дополнительных преобразований. Учащиеся должны создать орнамент, комбинируя перенос и отражение, или перенос и поворот. Третий уровень предполагает самостоятельное проектирование орнамента на основе заданных условий: тип симметрии, количество элементов, цветовая гамма. Четвертый, наиболее сложный уровень, включает задание на реконструкцию утраченного фрагмента орнамента по сохранившейся части, что требует применения знаний о симметрии и ритме.

Для выполнения практических заданий разработан набор шаблонов и трафаретов, выполненных из плотного картона и прозрачного пластика. Шаблоны представляют собой геометрические фигуры различных размеров и форм, а также рамки с нанесенной координатной сеткой. Использование таких материальных носителей позволяет обучающимся физически манипулировать элементами орнамента, $$$ $$$$$$$$ $$$$$ $$$ $$$$$$$$ с $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$. $$$$$ $$$$, $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$ $ $$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$ орнамента $$$$$ $$$$$$$$$$ и $$$$$$$ с $$$$$$$ $$$$, $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$ и $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$.

$$$$$$ $$$$ $$$$$$ — $$$$ $$$$$$$$ — $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$. $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$ $$$ $$$$: $$$$$$$$$$$$$ ($$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$) $ $$$$$$$$$$$$ ($$$$$$$ $$ $$$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$$$$). $$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$$$$$$: $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$. $$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$, $$ $ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$.

$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$ $$ $$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$ «$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$» $ $$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$ $-$ $$$$$$$. $ $$$$ $$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$. $$$$$$$ $$$$ $$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $,$ $$ $, $$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$. $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$, $$$ $$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$ ($$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$), $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$% $$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$. $$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$ $$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$, $$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$$, $$ $ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$.

$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$ $$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$. $$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$, $ $$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$ $$$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$. $$$ $$$$$$$$ $ $$$$$ $$$$$$ $.$. $$$$$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$, $$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ [$$].

$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ $$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$ $$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$-$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$.

Заключение

В ходе выполнения данного индивидуального проекта была достигнута поставленная цель: выявлены, систематизированы и проанализированы геометрические закономерности, используемые в народном творчестве, а также продемонстрирована их связь с фундаментальными математическими понятиями. Все задачи, сформулированные во введении, были полностью решены.

В теоретической части работы были изучены и классифицированы основные типы геометрических форм, встречающихся в декоративно-прикладном искусстве, от простейших элементов (точка, линия) до сложных орнаментальных структур (розетты, бордюры, сетки). Проведенный анализ семантики геометрических фигур подтвердил, что в народном творчестве круг, квадрат, ромб, треугольник и крест несли глубокую символическую нагрузку, отражая космологические и мифологические представления различных этносов. Были выявлены и описаны математические принципы построения орнамента — симметрия, ритм и пропорции, включая такие аспекты, как группы плоскостной симметрии, модульность и золотое сечение.

Практическая часть работы позволила применить теоретические знания к анализу конкретных образцов народного творчества. Исследование русской и татарской вышивки и ткачества выявило как общие закономерности (использование переносной, поворотной и зеркальной симметрии), так и этнические особенности (преобладание осевой симметрии в русской традиции и поворотной симметрии высоких порядков в татарской). Анализ архитектурного декора и резьбы по дереву подтвердил наличие строгих пропорциональных канонов в народном зодчестве, в частности, соотношений, близких к золотому сечению. Разработанная учебная модель по $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ и $$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$ как $$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ и $$$$$$$$$ в $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$.

$$$$$ $$$$$$$, $$$$ $$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$, $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$.

$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ $$$$$ $$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$, $ $$$$$ $$$ $$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$. $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$ $$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$.

$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$ $$ $$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$, $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$, $ $$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$. $$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$-$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$. $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$ $ $$$$$$$$$$$$$$$, $$$ $ $ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$.

Список использованных источников

1. Белова, П. С. Математические методы в изучении народного орнамента : монография / П. С. Белова. — Москва : Издательство МГУ, 2023. — 216 с. — ISBN 978-5-211-06890-1.

2. Григорьева, Л. М. Геометрия в декоративно-прикладном искусстве : учебное пособие для вузов / Л. М. Григорьева. — Санкт-Петербург : Лань, 2024. — 188 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-507-48215-3.

3. Громова, Е. В. Символика геометрических форм в традиционной культуре народов России / Е. В. Громова // Вестник культурологии. — 2022. — № 4. — С. 112-125.

4. Дмитриев, К. А. Моделирование орнаментальных структур на основе геометрических преобразований / К. А. Дмитриев // Информатика и образование. — 2023. — № 2. — С. 45-53.

5. Коваленко, А. С. Математические основы орнаментальной композиции : учебно-методическое пособие / А. С. Коваленко. — Казань : Издательство КФУ, 2021. — 144 с. — ISBN 978-5-00130-456-$.

$. $$$$$$$$, $. $. $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ / $. $. $$$$$$$$ // $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$. — $$$$. — № $. — $. $$-$$.

$. $$$$$$$$, $. $. $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ / $. $. $$$$$$$$ // $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$. — $$$$. — № $. — $. $$-$$.

$. $$$$$$$, $. $. $$$$$$$$$ $ $$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ / $. $. $$$$$$$ // $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$. — $$$$. — № $. — $. $$-$$.

$. $$$$$, $. $. $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ : $$$$$$$ $$$$$$$ $$$ $$$$$ / $. $. $$$$$. — $-$ $$$., $$$$. — $$$$$$ : $$$$$$, $$$$. — $$$ $. — ($$$$$$-$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$). — $$$$ $$$-$-$$$$-$$$$-$.

$$. $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ : $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ / $$$ $$$. $. $. $$$$$$$$. — $$$$$$ $$$$$$$$ : $$$$$$$$$$$$ $$$$, $$$$. — $$$ $. — $$$$ $$$-$-$$$$$-$$$-$.