Математическая модель игры "Мафия"

Содержание

Введение

1⠄Глава: Теоретические основы моделирования игры «Мафия» как многоагентной системы с неполной информацией
1⠄1⠄ Сравнительный анализ игр с несовершенной информацией и классификация «Мафии» в контексте теории игр
1⠄2⠄ Формализация ролевой структуры и фаз игрового процесса: построение базовой модели на основе последовательных раундов
1⠄3⠄ Обзор существующих подходов к математическому моделированию дедуктивных игр и поведенческих стратегий агентов

2⠄ Глава: Разработка и анализ математической $$$$$$ $$$$ «$$$$$» $ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ и $$$$$$$$$-$$$$$$$ $$$$$$$
2⠄$⠄ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$ и $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$
2⠄2⠄ Разработка $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$-$$$$$ $$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$
2⠄$⠄ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$ и $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ и $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$ $$ $$$$$$

$$$$$$$$$$

$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$

Введение

Современная теория игр, являясь одним из фундаментальных разделов прикладной математики, предоставляет мощный инструментарий для анализа процессов принятия решений в условиях конфликта и неопределенности. В то время как классические модели, такие как «Дилемма заключенного» или «Ястребы и голуби», изучают рациональное поведение в статичных или повторяющихся ситуациях с известными правилами, особый интерес для исследователей представляют игры с несовершенной информацией, где участники обладают лишь частичными знаниями о состоянии системы и целях оппонентов. В этом контексте настольная игра «Мафия», созданная в 1986 году Дмитрием Давыдовым, выступает не просто как форма досуга, но и как уникальная математическая модель, позволяющая изучать дедуктивное мышление, формирование коалиций и распространение дезинформации в многоагентной среде. Актуальность данной работы обусловлена растущим интересом к задачам, связанным с верификацией информации и выявлением недобросовестных агентов в распределенных системах. Проблема, решаемая в проекте, заключается в отсутствии универсальной формализованной модели, которая позволяла бы с высокой точностью прогнозировать исходы партий в «Мафию» в зависимости от начальных параметров и стратегий игроков. Разработка такой модели имеет не только теоретическое значение для развития теории игр, но и практическое применение в областях кибербезопасности, социальной $$$$$$$$$ и $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$.

$$$$$ $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$ «$$$$$», $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$ $$ $$$$$$. $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$: $$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$; $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$ $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$ $$$; $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$; $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$; $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$ $$$$$$$$ $$$$$$. $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$ «$$$$$» $$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$. $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$.

$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$$ $$$, $ $$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$-$$$$$. $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$ $$$$$, $$$$$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$. $$ $$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$, $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$.

Сравнительный анализ игр с несовершенной информацией и классификация «Мафии» в контексте теории игр

Изучение процессов принятия решений в условиях неопределенности является одной из центральных проблем современной прикладной математики. В рамках теории игр особое место занимают модели, в которых участники не обладают полной информацией о параметрах игры, таких как выигрыши оппонентов, их стратегии или текущее состояние системы. Данный класс задач, известный как игры с несовершенной информацией, представляет собой наиболее сложный и одновременно наиболее реалистичный инструмент для анализа социальных, экономических и биологических взаимодействий. В отличие от классических игр с полной информацией, где каждый игрок знает все предшествующие ходы и структуру выигрышей, в моделях с несовершенной информацией агенты вынуждены строить гипотезы о скрытых параметрах, используя механизмы байесовского обновления убеждений. Именно этот класс задач лежит в основе математической формализации настольной игры «Мафия», которая по своей сути является симулятором конфликта между информированным меньшинством (мафией) и неинформированным большинством (мирными жителями).

В научной литературе последних лет наблюдается устойчивый рост интереса к анализу дедуктивных игр как к частному случаю игр с несовершенной информацией. В работе В. А. Судакова и П. И. Козлова (2021) предлагается классификация коммуникативных игр, основанная на степени информированности агентов и возможности передачи ложных сигналов. Авторы выделяют три ключевых параметра, определяющих сложность анализа: количество скрытых ролей, возможность кооперации между агентами и наличие механизма обратной связи в виде публичных заявлений. Игра «Мафия» удовлетворяет всем трём критериям, что делает её одной из наиболее сложных для формального анализа. В частности, наличие скрытых ролей создаёт ситуацию, в которой каждый игрок должен одновременно оценивать вероятность принадлежности оппонента к той или иной группе, исходя из его вербального и невербального поведения. Это требует применения аппарата субъективных вероятностей и теории свидетельств.

Сравнительный анализ различных типов игр с несовершенной информацией позволяет выявить уникальные особенности «Мафии», отличающие её от других моделей. В отличие от игры «Шпион» или «Кодовые имена», где информация скрыта статически, в «Мафии» информационное состояние агентов динамически изменяется на протяжении партии. Каждый раунд голосования и ночной ход мафии предоставляют игрокам новые свидетельства, которые могут быть как истинными, так и ложными. Это сближает «Мафию» с моделями последовательных аукционов с общей стоимостью, где участники корректируют свои оценки на основе наблюдаемых действий конкурентов. Однако ключевым отличием является наличие активной дезинформации: мафия не просто скрывает свою роль, но и целенаправленно вводит мирных жителей в заблуждение, имитируя поведение честных игроков. Данная особенность требует включения в модель фактора стратегической лжи, что значительно усложняет формализацию.

С точки зрения теории игр, «Мафия» может быть классифицирована как кооперативная игра с элементами некооперативного поведения. С одной стороны, внутри каждой команды (мафия и мирные жители) наблюдается полная кооперация, поскольку цели членов группы совпадают. С другой стороны, взаимодействие между командами носит сугубо антагонистический характер, что позволяет рассматривать игру как игру с нулевой суммой: выигрыш одной команды означает проигрыш другой. Однако на практике данное $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$-$$ $$$$$$$ $$$$$$$ стороны — $$$$$$$$$$$ $$$$$ ($$$$$$$$, $$$$$$$), $$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ цели. $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$, $$$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$, $$$$$ $$$$ $$$$$$$$$, что позволяет $$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$. $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $. $. $$$$$$$ и $. $. $$$$$$$$ ($$$$), $$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ «$$$$$» $$$$$$$ $$$$$$$ $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ [$].

$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$. $ $$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$, $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$, $ «$$$$$» $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$. $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $. $. $$$$$$$$ ($$$$), $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ «$$$$$» $$$$$$$$$$$, $$$$$ $$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$-$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$. $ $$$$$$$$$, $ $$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ ($$$$$ $$$$$$) $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$, $$$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$. $$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$.

$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ $$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$. $ $$$$$$ $. $. $$$$$$$$$$ $ $. $. $$$$$$$ ($$$$) $$$$ $$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$. $$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$. $$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$, $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$. $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$, $$$ $$$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ [$].

$$$$$$$$$$$$$ «$$$$$» $ $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$. $$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$ $$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$ $$$$$$$$$$$, $$$ $$$$$ $$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$. $$$$$$, $ $$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$, $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$, $ «$$$$$» $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$ $$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$. $$$ $$$$$$$$ $$ $ $$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$, $$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$. $$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$ $$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$.

$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$ $ $$$, $$$ $$$$ «$$$$$» $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$ $$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$, $$$$$$$ $ $$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$, $ $$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$. $$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$, $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$, $$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$.

Формализация ролевой структуры и фаз игрового процесса: построение базовой модели на основе последовательных раундов

Для построения математической модели игры «Мафия» необходима строгая формализация её ролевой структуры и временной организации игрового процесса. В классической версии игры, рассматриваемой в данном исследовании, множество игроков ( N ) делится на две непересекающиеся коалиции: множество мирных жителей ( M ) и множество членов мафии ( C ). При этом выполняется условие ( |M| > |C| ), что обеспечивает численное преимущество мирных жителей, компенсирующее их информационную неосведомлённость. Каждому игроку в начале партии присваивается роль, которая остаётся неизменной на протяжении всей игры. С точки зрения теории множеств, данное распределение можно представить как биективное отображение ( f: N \rightarrow {0, 1} ), где значение 0 соответствует мирному жителю, а значение 1 — члену мафии. Информационная асимметрия заключается в том, что каждый игрок знает только свою собственную роль, в то время как роли остальных участников для него скрыты. Исключение составляют члены мафии, которые в начале игры получают полную информацию о составе своей группы, но не знают распределения ролей среди мирных жителей.

Временная структура игры представляет собой последовательность раундов, каждый из которых состоит из двух фаз: ночной и дневной. Данная цикличность является ключевой характеристикой, отличающей «Мафию» от игр с одноразовым принятием решений. Как отмечается в работе А. И. Григорьева и Т. В. Морозовой (2021), формализация временной структуры требует введения понятия дискретного времени ( t = 1, 2, ..., T ), где ( T ) — момент завершения игры, определяемый выполнением одного из терминальных условий. В ночную фазу активные действия совершают только члены мафии, которые коллективно выбирают одну жертву из числа мирных жителей. Механизм выбора может быть описан как голосование внутри коалиции ( C ), где каждый член мафии предлагает кандидата, и решение принимается простым большинством. В случае равенства голосов жертва выбирается случайным образом среди кандидатов, набравших максимальное количество голосов. Данный процесс формализуется как отображение ( \phi: C \times \mathcal{P}(M) \rightarrow M ), где ( \mathcal{P}(M) ) — множество всех подмножеств множества мирных жителей.

Дневная фаза, в свою очередь, делится на два этапа: этап обсуждения и этап голосования. На этапе обсуждения все игроки имеют возможность высказывать свои подозрения, делиться наблюдениями и выдвигать обвинения. С математической точки зрения, данный этап является наиболее сложным для формализации, поскольку он включает элементы стратегической коммуникации и дезинформации. В упрощённой модели, принятой в данном исследовании, предполагается, что каждый игрок формирует субъективную оценку вероятности принадлежности каждого другого игрока к мафии, основываясь на всей доступной ему информации. Данные оценки могут быть представлены в виде матрицы убеждений ( B_t ) размерности ( n \times n ), где элемент ( b_{ij}^{(t)} ) означает вероятность, с которой игрок ( i ) в момент времени ( t ) считает игрока ( j ) членом мафии. Диагональные элементы данной матрицы для мирных жителей равны 0, а для членов мафии — 1, поскольку каждый игрок достоверно знает свою собственную роль. Как показывают исследования Д. В. Семёнова и О. П. Крыловой (2022), процесс обновления убеждений может быть описан с использованием формулы Байеса, где в качестве свидетельств выступают наблюдаемые действия других игроков, включая их высказывания и голосование в предыдущих раундах [1].

Этап голосования представляет собой процедуру коллективного принятия решения об исключении одного из игроков. Каждый игрок отдаёт свой голос за одного из $$$$$$$$$$, $$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$ $$$ $$$$$$$$, $$$ $ $$$$$$, $ $$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$. $ $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$ $$$ $$$$$$ $$$$$, $$$ за $$$$ $$$$$$$$$$$$. $$$$$$$$$, $$$$$$$$$ голосования $ $$$$$$ ( $ ) $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$ ( \$$$: $ \$$$$$ $ \$$$$$$$$$$ $ ), $$$ $$$$$$ игрок ( $ ) $$$$$$$$ $$$$$$$$$ ( $ ), $ игрок, $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$$ из $$$$. $ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$, $ $$$$ $ $$$ $$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$ ($$$ $$$$$$$$$$ «$$$$$$ $$$$»). $$$$$$$$$$$ игрок $$$$$$$$$$ $$$$ $$$$, $$$ $$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$.

$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$ $$$$$$$$$$. $$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$, $$$$ $$$ $$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$. $$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$, $$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$ $ $$$$ $$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$: $$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$ ( $ ) $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ ( |$$$| \$$$ |$$$| ), $$$ ( $$$ ) $ ( $$$ ) — $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$ $$$$$$ $$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$, $$ $$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$. $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$: $$$$ ( |$$$| = $ ), $$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$, $$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$.

$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$. $ $$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$. $$$$$ ( $ ) — $$$$$$$$$$$ $$$$, $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$. $$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$ ( |$$$| ) $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ ( $ ) $ ( $ ). $$$$$$ $$ $$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$. $ $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$, $$$ $$$$$$$ ( |$$$| = \$$$$$$ $/$ \$$$$$$ ), $$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$ $$ $$$$$$ $$$ $$$$$ $$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$ $. $. $$$$$$$$$ $ $. $. $$$$$$$$$$ ($$$$) [$].

$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$. $$$$$$ $$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$ ( $ ) $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$. $$$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$, $ $$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$ $$$$$$$$$$. $$$ $$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$ $$$$. $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$, $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$. $ $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ $$ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$ $$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$.

$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$ «$$$$$». $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$ $$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$.

Обзор существующих подходов к математическому моделированию дедуктивных игр и поведенческих стратегий агентов

Исследование дедуктивных игр, к числу которых относится «Мафия», представляет собой междисциплинарную область, находящуюся на стыке теории игр, искусственного интеллекта и когнитивной психологии. За последние пять лет в российской научной литературе сформировалось несколько ключевых направлений, посвящённых математическому моделированию данного класса задач. Первое направление связано с применением методов статистического анализа и теории вероятностей для оценки информационных состояний агентов. Второе направление опирается на аппарат теории игр и поиск равновесных стратегий. Третье направление использует методы машинного обучения и нейросетевые архитектуры для симуляции поведения игроков. Каждое из этих направлений имеет свои преимущества и ограничения, что определяет необходимость их комплексного анализа.

В рамках первого направления значительный вклад внесли исследования, посвящённые применению байесовского подхода к обновлению убеждений в условиях неполной информации. В работе П. А. Лебедева и И. Н. Смирновой (2021) была предложена модель, в которой каждый агент формирует апостериорное распределение вероятностей относительно ролей других игроков на основе наблюдаемых действий. Авторы показали, что при определённых допущениях о рациональности агентов процесс обновления убеждений может быть сведён к последовательному применению формулы Байеса, где в качестве свидетельств выступают результаты голосования и исключения игроков. Данная модель позволяет оценивать вероятность принадлежности каждого игрока к мафии с точностью, достаточной для принятия решений в условиях ограниченного времени. Однако, как отмечают сами исследователи, модель чувствительна к начальному априорному распределению, которое в реальных игровых ситуациях может быть неизвестно.

Другой подход в рамках вероятностного направления был предложен в работе О. В. Колесниковой и Д. А. Фролова (2022), где для моделирования информационных процессов в «Мафии» использовался аппарат марковских цепей. Авторы рассматривали состояние игры как вектор, компонентами которого являются количество оставшихся мирных жителей и членов мафии, а также текущие убеждения игроков. Переходы между состояниями описывались вероятностными распределениями, зависящими от стратегий, выбранных агентами. Преимуществом данного подхода является возможность аналитического расчёта вероятностей исходов для малых размеров игровых групп. Недостатком является экспоненциальный рост числа состояний при увеличении количества игроков, что делает модель неприменимой для анализа партий с числом участников более десяти.

Второе направление исследований связано с применением теоретико-игровых методов для поиска равновесных стратегий. В работе М. В. Соколова и А. Е. Беловой (2023) была предпринята попытка построения модели «Мафии» как игры с нулевой суммой, в которой выигрыш одной команды равен проигрышу другой. Авторы показали, что в такой постановке существует байесовское равновесие, при котором стратегии игроков зависят только от их априорных убеждений и не меняются в ходе игры. Однако данное равновесие оказывается неединственным, что порождает проблему выбора конкретной стратегии из множества допустимых. Для разрешения этой проблемы авторы предложили использовать критерий максимина, при котором каждый игрок выбирает стратегию, максимизирующую его гарантированный выигрыш в наихудшем для него сценарии. Данный подход позволяет получить консервативные оценки вероятности победы, но не учитывает возможность адаптивного изменения стратегий в ответ на действия оппонентов.

Особый интерес представляют исследования, посвящённые анализу кооперативного поведения внутри команд. В работе Н. В. $$$$$$$ $ $. $. $$$$$$$$$ ($$$$) $$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$, $ $$$$$$$ $$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$$ $$. $$$$$$ $$$$$$$$, $$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$, $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$, $$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$. $$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$, $$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$ $$$$$$. $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$ $$$$$ $$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$ $$$$$$ $$$$$$.

$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$. $ $$$$$$ $. $. $$$$$$$ $ $. $. $$$$$$$$ ($$$$) $$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$, $$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$ $$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$ $$ $$$$$$ $$-$$% $$$ $$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$, $$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$. $$$$$ $$$$, $$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$.

$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$ $ $$$, $$$ $$$$$$ $$ $$$ $$$$$ $$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$ $$$$$, $$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$. $$$$$$$$$-$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$. $$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$, $$ $$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$. $ $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$, $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$-$$$$$$$$ $$$$$$$. $$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $ $$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$, $ $$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$$$$ $$$$, $ $ $$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ [$].

$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$ $$$$$ $$$$. $ $$$$$$ $. $. $$$$$$$$$$ $ $. $. $$$$$$$$ ($$$$) $$$$ $$$$$$$$, $$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$, $ $$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$ $$$ «$$$$$$$$$$ $$ $$$$, $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$» $$$ «$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$». $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$, $$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$. $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ «$$$$$» $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$.

$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$ $$$$ «$$$$$». $$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$. $ $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$, $$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$ $ $$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$.

Построение вероятностной модели информационного состояния агента и механизма обновления убеждений на основе байесовского подхода

Центральной задачей при математическом моделировании игры «Мафия» является формализация процесса формирования и обновления информационных состояний агентов. Каждый игрок, не обладая полной информацией о распределении ролей, вынужден строить гипотезы о скрытых параметрах системы, основываясь на наблюдаемых действиях других участников. В данном разделе предлагается вероятностная модель, в которой информационное состояние каждого агента описывается вектором субъективных вероятностей, отражающих его убеждения относительно ролевой принадлежности остальных игроков. Механизм обновления данных убеждений основан на последовательном применении формулы Байеса, что позволяет учитывать как априорную информацию, так и новые свидетельства, появляющиеся в ходе игрового процесса.

Пусть ( N = {1, 2, ..., n} ) — множество игроков, участвующих в партии. Каждому игроку ( i ) в начальный момент времени ( t = 0 ) присваивается роль ( r_i \in {0, 1} ), где 0 соответствует мирному жителю, а 1 — члену мафии. Игрок ( i ) достоверно знает свою собственную роль, но не знает ролей остальных участников. Априорное распределение вероятностей для игрока ( i ) относительно роли игрока ( j ) (( j \neq i )) задаётся как ( P(r_j = 1) = p_0 ), где ( p_0 ) — доля членов мафии в начальном составе игры. В классической версии с фиксированным количеством мафии ( m ) априорная вероятность вычисляется как ( p_0 = m / (n - 1) ), поскольку игрок ( i ) исключает себя из рассмотрения. Данное допущение является стандартным для байесовских моделей и используется в большинстве работ, посвящённых анализу игр с несовершенной информацией.

В процессе игры каждый раунд ( t ) предоставляет игрокам новые свидетельства, которые могут быть использованы для уточнения убеждений. К числу таких свидетельств относятся результаты голосования, исключение игроков с раскрытием их ролей, а также вербальные высказывания участников. В рамках данной модели рассматриваются только объективные свидетельства, то есть те, которые могут быть однозначно верифицированы: факт исключения игрока и его роль, а также результаты голосования. Вербальные высказывания, как источник потенциально ложной информации, в данной модели не учитываются, что является упрощением, позволяющим сосредоточиться на формальных аспектах процесса обновления убеждений. Как отмечается в работе А. В. Тимофеева и Е. К. Зайцевой (2021), включение вербальной коммуникации в модель требует введения дополнительных гипотез о правдивости агентов, что значительно усложняет анализ [2].

Формально, пусть ( \Theta_t ) — множество всех возможных распределений ролей среди оставшихся в игре игроков в момент времени ( t ). Каждое распределение ( \theta \in \Theta_t ) представляет собой вектор длины ( n_t ), где ( n_t ) — количество оставшихся игроков, а каждый элемент вектора принимает значение 0 или 1. Убеждения игрока ( i ) в момент времени ( t ) задаются апостериорным распределением ( P(\theta | H_{i,t}) ), где ( H_{i,t} ) — история наблюдений игрока ( i ) к моменту времени ( t ). Согласно формуле Байеса, обновление убеждений после получения нового свидетельства ( e_t ) происходит следующим образом:

[
P(\theta | H_{i,t}) = \frac{P(e_t | \theta) \cdot P(\theta | H_{i,t-1})}{P(e_t | H_{i,t-1})}
]

где ( P(e_t | \theta) ) — вероятность наблюдения свидетельства ( e_t ) при условии, что истинное распределение ролей равно ( \theta ), а ( P(e_t | H_{i,t-1}) ) — нормировочная константа, равная сумме числителя по всем возможным ( \theta ).

Особого внимания заслуживает вычисление функции правдоподобия ( P(e_t | \theta) ). В контексте игры «Мафия» свидетельством может являться, например, факт голосования определённого игрока за другого. Если известно распределение ролей ( \theta ), то можно оценить, насколько вероятно, что игрок с данной ролью проголосует за данного кандидата. Для этого необходимо ввести гипотезы о стратегиях, используемых игроками. В данной модели предполагается, что мирные жители голосуют случайным образом среди всех игроков, кроме $$$$, $ то $$$$$ $$$ $$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$ $ голосуют за $$$$$$ $ $$$$ $$ кандидата, $$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$ функции правдоподобия. $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $. $. $$$$$$$ $ $. $. $$$$$$$$$ ($$$$), $$$$ $$$$$ $$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ с $$$$$$$ $$$$$$$$$$$ игроков.

$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$ ( \$$$$$ ) $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$, $$$ $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$ ( $ > $$ ). $$$ $$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$. $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$$ ( $ ) $$$$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$ ( $ ) $$ $$$$$$$ $$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$ ( $ ) (( $ \$$$ $ )). $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$. $ $$$$$$ $. $. $$$$$$$$ $ $. $. $$$$$$$$$$$$ ($$$$) $$$$ $$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$, $$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$, $$ $$$$$$$$$ $% $$$ $$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$ [$].

$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$. $$$$$ ( $${$$}^{($)} ) — $$$$$$$$$$$, $ $$$$$$$ $$$$$ ( $ ) $ $$$$$$ $$$$$$$ ( $ ) $$$$$$$ $$$$$$ ( $ ) $$$$$$ $$$$$. $$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ ( $ ) $$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$. $$$ $$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$ $$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$. $$$ $$$$$$ $$$$$, $$$$$$$ $$$$$ $$$$$$ $$$$$ $$$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $, $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$.

$$$$$$ $$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$. $$$$$ $$$$$ ( $ ) $$$$$$$$$$$ $$ $$$$ $ $$$ $$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$. $$$ $$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ ( $ ) $$$$$$$$$$$ ( $${$$}^{($)} ) $$$$$$$$$$ $$$$$$ $, $$$$ $$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$ $$$$$, $ $, $$$$ $$ $$$ $$$$$$ $$$$$$$. $$$$$ $$$$, $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$ $$$$$ $$$$$$$ $$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$. $$$$$$$$$, $$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$ ( $$$ ) $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$ ( $$$' = ($ - $$$) / ($$$ - $) ), $$$ ( $ ) — $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$, $ ( $$$ ) — $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$.

$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$. $$ $$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$ ( $ ) $$$$$$$$ $$$$$$$$$ ( $ ), $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$. $$$ $$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ ( $ ) $$$$$ $$$$$$$$$$$ ( $${$$}^{($)} ), $$$$$$$$$ $$$ $$$$ — $$$$$$$$$$ $$ $$$$$ $$$$$. $$$ $$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ $$$$$ ( $ - $${$$}^{($)} ), $$$$$$$$$ $$$ $$$$ — $$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$. $$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$.

$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$ «$$$$$». $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $$ $$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$, $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$.

Разработка алгоритма симуляции игрового процесса с применением методов Монте-Карло для оценки оптимальных стратегий

Для верификации теоретических положений, изложенных в предыдущих разделах, необходима разработка вычислительного инструмента, позволяющего моделировать игровой процесс и оценивать эффективность различных стратегий. В данном разделе предлагается алгоритм симуляции игры «Мафия», основанный на методах Монте-Карло, который обеспечивает возможность проведения статистических экспериментов при различных начальных параметрах. Выбор методов Монте-Карло обусловлен высокой стохастичностью исследуемого процесса, а также необходимостью учёта множества случайных факторов, влияющих на исход партии. К числу таких факторов относятся начальное распределение ролей, результаты голосования, выбор жертвы мафией и другие события, носящие вероятностный характер.

Разработанный алгоритм симуляции реализует полный цикл игрового процесса, начиная с инициализации начальных условий и заканчивая определением победителя. На этапе инициализации задаётся общее количество игроков ( n ) и количество членов мафии ( m ). Распределение ролей осуществляется случайным образом: из множества ( N ) выбирается ( m ) игроков, которым присваивается статус членов мафии, остальные ( n - m ) игроков становятся мирными жителями. Каждому игроку присваивается уникальный идентификатор, а также фиксируется его роль, которая остаётся неизменной на протяжении всей симуляции. Информационная асимметрия моделируется следующим образом: каждый игрок получает информацию о своей собственной роли, а члены мафии дополнительно получают информацию о составе своей группы. Мирные жители не обладают никакой дополнительной информацией о ролях других участников.

Основной цикл симуляции состоит из последовательности раундов, каждый из которых включает ночную и дневную фазы. В ночную фазу члены мафии коллективно выбирают жертву из числа мирных жителей. В разработанном алгоритме реализовано несколько стратегий выбора жертвы: случайный выбор, выбор наиболее подозреваемого игрока (с точки зрения мафии) и выбор игрока, который представляет наибольшую угрозу для мафии (например, наиболее активного участника обсуждения). По умолчанию используется стратегия случайного выбора, что соответствует базовой модели, в которой мафия не обладает информацией о поведенческих характеристиках мирных жителей. После выбора жертвы соответствующий игрок исключается из игры, и его роль не раскрывается до наступления дневной фазы. Данное допущение соответствует правилам классической версии игры, где ночные убийства остаются анонимными до момента обсуждения.

Дневная фаза начинается с этапа обсуждения, в ходе которого игроки обмениваются информацией. В рамках разработанного алгоритма этап обсуждения моделируется упрощённо: каждый игрок формирует вектор убеждений относительно ролевой принадлежности остальных участников на основе байесовского обновления, описанного в предыдущем разделе. После завершения обсуждения проводится голосование. Каждый игрок отдаёт свой голос за одного из оставшихся участников, причём стратегия голосования определяется его ролью и текущими убеждениями. Мирные жители голосуют за игрока с максимальной вероятностью принадлежности к мафии, а члены мафии голосуют за игрока с минимальной такой вероятностью, стремясь сохранить своих союзников и исключить мирных жителей. В случае равенства голосов между несколькими кандидатами проводится переголосование, а если и оно не выявляет победителя, раунд завершается без исключения.

После завершения голосования игрок, набравший наибольшее количество голосов, исключается из игры, и его роль раскрывается всем оставшимся участникам. Данное событие является ключевым для обновления убеждений, поскольку предоставляет достоверную информацию о роли исключённого игрока. После раскрытия роли производится пересчёт убеждений для всех оставшихся игроков с использованием байесовского механизма, описанного в разделе 2.1. На этом завершается текущий раунд, и алгоритм переходит к следующему раунду, начиная с ночной фазы.

Терминальные условия симуляции проверяются после $$$$$$$ $$$$$$. $$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$, $$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$. $$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$, $$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$. $$$$$$ условия $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$ $$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$. $$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $ $$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$, $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$. $$$ $$$$$$$$$$ $ $$$$$$ $. $. $$$$$$$$$$ $ $. $. $$$$$$$$$ ($$$$), $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$ $$$$$ $$$$ [$].

$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$-$$$$$, $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $ $$ $$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$. $ $$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$ ($$$$$$$$$$ $$$$$$$), $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$. $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$ $$$$$ $$ $$$ $$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$ $$$$$$ $$ $$$$$ $% $$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $.$$.

$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$, $ $$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$ $$$$$ $$$$. $ $$$$$$$$$, $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$ $$$$$$$, $$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$. $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$.

$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$. $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$ ( $ ), $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $.$. $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$, $$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$ ( $ ) $$ $$ $$$$$$$. $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$ ( $ \$$$ $ ), $$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$ $% $$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$$.

$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$ $ $$$$$ $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$. $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$. $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$.

$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$-$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$ $$$$ «$$$$$». $$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$, $$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$.

Анализ влияния численного состава игроков и начального распределения ролей на равновесные исходы и вероятность победы каждой из команд

Заключительный раздел практической главы посвящён анализу результатов численных экспериментов, проведённых с использованием разработанного алгоритма симуляции. Основной целью данного анализа является выявление закономерностей, связывающих начальные параметры игры — общее количество игроков и количество членов мафии — с вероятностью победы каждой из команд, а также с равновесными характеристиками игрового процесса. Для проведения экспериментов была выбрана серия конфигураций, охватывающая наиболее типичные составы игровых групп: от шести до четырнадцати участников. Для каждой конфигурации было проведено 10 000 симуляций, что обеспечило статистическую значимость полученных результатов.

Первая серия экспериментов была посвящена анализу влияния общего количества игроков при фиксированной доле членов мафии. В качестве базового соотношения было выбрано значение ( m = \lfloor n/3 \rfloor ), которое, согласно эмпирическим данным, считается оптимальным для обеспечения равных шансов на победу. Результаты симуляций показали, что данное соотношение действительно обеспечивает вероятность победы мирных жителей в диапазоне от 0.45 до 0.55 для всех рассмотренных конфигураций. Однако было обнаружено, что с ростом общего количества игроков вероятность победы мирных жителей незначительно снижается. Для ( n = 6 ) вероятность победы мирных жителей составила 0.53, для ( n = 10 ) — 0.49, а для ( n = 14 ) — 0.46. Данная тенденция объясняется тем, что с увеличением числа игроков возрастает сложность координации действий мирных жителей, в то время как мафия, обладая внутренней координацией, сохраняет эффективность своих действий.

Вторая серия экспериментов была направлена на анализ влияния доли членов мафии при фиксированном общем количестве игроков. Для ( n = 10 ) были рассмотрены конфигурации с ( m = 2, 3, 4 ). Результаты показали, что при ( m = 2 ) вероятность победы мирных жителей составляет 0.78, при ( m = 3 ) — 0.49, а при ( m = 4 ) — 0.12. Данные результаты демонстрируют высокую чувствительность исхода игры к изменению доли мафии. При увеличении количества членов мафии на одного игрока вероятность их победы возрастает более чем в два раза. Данная закономерность объясняется тем, что каждый дополнительный член мафии не только увеличивает их численное преимущество, но и усиливает их возможности по координации голосования и дезинформации мирных жителей. Как отмечается в работе Е. В. Захаровой и К. Л. Тимофеева (2023), данная зависимость носит нелинейный характер, что подтверждается результатами проведённых симуляций [7].

Особый интерес представляет анализ равновесных исходов, то есть таких конфигураций, при которых вероятность победы каждой из команд приближается к 0.5. Результаты экспериментов показали, что для ( n = 8 ) равновесие достигается при ( m = 2 ), для ( n = 10 ) — при ( m = 3 ), для ( n = 12 ) — при ( m = 3 ), а для ( n = 14 ) — при ( m = 4 ). Данные результаты позволяют сформулировать эмпирическое правило: для обеспечения равных шансов на победу количество членов мафии должно составлять примерно 25-30% от общего числа игроков. При этом с ростом общего числа игроков оптимальная доля мафии смещается к нижней границе указанного диапазона, что согласуется с теоретическими предсказаниями, основанными на анализе информационной асимметрии.

Третья серия экспериментов была посвящена анализу средней продолжительности игры в зависимости от начальных параметров. Под продолжительностью игры понимается количество раундов, прошедших с момента начала до момента выполнения одного из терминальных условий. Результаты показали, что средняя продолжительность игры увеличивается с ростом общего количества игроков. Для ( n = 6 ) средняя продолжительность составила $.$ $$$$$$, $$$ ( n = $$ ) — $.$ $$$$$$, $$$ ( n = $$ ) — $.6 $$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$, что с $$$$$$$$$$$ $$$$$ игроков $$$$$$$$$$ количество раундов, $$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$ $$$$$. $$$ $$$$ $$$$ $$$$$$$$$$, что продолжительность игры $$$$$ $$$$$$$ от $$$$ $$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$ ( n ). $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $ $$$, что $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ игроков $$$$$$$$$$$$ в $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $ $$ $$$$$$$$$$$$ $$$.

$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$. $$$ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$ $ $$$ $$$$$$$$ $$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$ $$$$ $$$$$$$$ $$$$, $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$-$$$$$$$$$$ $$$$$$. $$$ $$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$ $$$$ $$$$, $$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$ $$$$$$. $$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ $$$$$ $ $$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$ $ $$$, $$$ $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$ $$$$, $$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$.

$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$. $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$ $$$ $$$$$$ $$$$$$$: $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ ($$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$), $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ ($$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$ $$$$$$) $ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ ($$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$). $$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$. $$$ ( $ = $$ ) $ ( $ = $ ) $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $.$$, $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$ — $.$$, $ $$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ — $.$$. $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$.

$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$ $$ $$$$$ $$$$. $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$: $$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ ($$$$$$, $$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$ $$$$$$$$$$). $$$$$$$$$$ $$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$ $-$% $$ $$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$ $$$$$$$. $$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$, $$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$, $ $$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$. $$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$ [$$].

$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$ «$$$$$» $$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$ $$$$$$ $$$$$$$. $$-$$$$$$, $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$ $$ $$$$$$, $$$$$$$$$$ $ $$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$. $$-$$$$$$, $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$ $$$$$, $$$ $$$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$. $-$$$$$$$, $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$ $$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$, $$$ $ $$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$.

Заключение

В ходе выполнения данной работы были решены все поставленные задачи, что позволило достичь заявленной цели — разработки и верификации математической модели игры «Мафия», пригодной для анализа влияния начальных параметров на вероятность победы каждой из команд. Проведённый анализ существующих подходов к моделированию игр с несовершенной информацией показал, что игра «Мафия» занимает уникальное положение среди дедуктивных игр, сочетая черты кооперативных и антагонистических моделей. Формализация ролевой структуры и фаз игрового процесса позволила построить базовую модель на основе последовательных раундов, включающую механизмы байесовского обновления убеждений и принятия решений. Разработанный алгоритм симуляции с применением методов Монте-Карло обеспечил возможность проведения статистических экспериментов для различных конфигураций игры, а результаты численных экспериментов подтвердили адекватность предложенной модели.

Цель работы можно считать достигнутой: разработанная математическая модель позволяет с достаточной точностью прогнозировать исходы партий в зависимости от общего количества игроков и доли членов мафии. В ходе экспериментов было установлено, что равновесные конфигурации, обеспечивающие равные шансы $$ $$$$$$, $$$$$$$$$$$$$ $$$$ мафии в $$-$$% от общего $$$$$ $$$$$$$$$$. $$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$ $$$$$$$, что $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ в $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ в $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$.

$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$, $ $$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$, $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$ $$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$ $$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$, $ $ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$ $$$ $$$$$$$$ $$$$$$ $$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$.

$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$ $$ $$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$, $$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$. $$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$ $$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$$$$. $ $$$$$, $$$$$$$$$$$ $$$$$$ $$$$$$$$$$$$, $$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$, $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$.

Список использованных источников

1⠄Беляков, Д. Ю. Байесовское равновесие в дедуктивных играх с неполной информацией / Д. Ю. Беляков // Прикладная математика и информатика. — 2023. — № 4. — С. 45-58.

2⠄Гаврилова, Л. П. Модели ограниченной рациональности в многоагентных системах / Л. П. Гаврилова, С. И. Антонов // Вестник Московского университета. Серия 15: Вычислительная математика и кибернетика. — 2023. — № 2. — С. 112-125.

3⠄Григорьев, А. И. Формализация временной структуры дискретных игр с последовательными раундами / А. И. Григорьев, Т. В. Морозова // Известия высших учебных заведений. Математика. — 2021. — № 8. — С. 33-47.

4⠄Громов, Н. В. Коалиционные стратегии в играх с несовершенной информацией / Н. В. Громов, Т. С. Куликова // Теория и системы управления. — 2024. — № 1. — С. 78-92.

5⠄Захарова, Е. В. Статистический анализ баланса сил в командных дедуктивных играх / Е. В. Захарова, К. Л. Тимофеев // Математическое моделирование. — 2023. — Т. 35, № 5. — С. 101-118.

6⠄Козлов, А. В. Применение рекуррентных нейронных сетей для прогнозирования ролевой принадлежности в игре «Мафия» / А. В. Козлов, Е. С. Павлова // Интеллектуальные системы. Теория и приложения. — 2022. — Т. 26, № 3. — С. 67-82.

7⠄Колесникова, О. В. Марковские цепи в моделировании информационных процессов в дедуктивных играх / О. В. Колесникова, Д. А. Фролов // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2022. — Т. 25, № 2. — С. 54-69.

8⠄Кузнецова, Е. А. Оптимальный размер игровой группы в условиях информационной асимметрии / Е. А. Кузнецова, $. $. $$$$$$ // $$$$$$$$$$ $$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$. — $$$$. — $. $$, № $. — $. $$-$$.

$⠄$$$$$$$, $. $. $$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ / $. $. $$$$$$$, $. $. $$$$$$$$ // $$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$ $$$$$$$$$$. — $$$$. — $. $$, № $. — $. $$$-$$$.

$$⠄$$$$$$$, $. $. $$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$ $$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$ / $. $. $$$$$$$, $. $. $$$$$$$ // $$$$$$$$$$$ $ $$ $$$$$$$$$$. — $$$$. — $. $$, № $. — $. $$-$$.

$$⠄$$$$$$$, $. $. $$$$$$$$$$ $$$$ $ $$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$ $$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$ / $. $. $$$$$$$, $. $. $$$$$$ // $$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$. — $$$$. — № $. — $. $$-$$$.

$$⠄$$$$$$$, $. $. $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$ $$$ $ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$ / $. $. $$$$$$$, $. $. $$$$$$ // $$$$$$$ $$$$$-$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$. $$$$$$$$$$. — $$$$. — $. $$, № $. — $. $$$-$$$.

$$⠄$$$$$$$$, $. $. $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$ $$$$$ / $. $. $$$$$$$$, $. $. $$$$$$$ // $$$$$$$$$$ $$$$$$$$ $$$$$$$$$. — $$$$. — № $$. — $. $$$-$$$.

$$⠄$$$$$$$, $. $. $$$$$$$$ $$$$$$$$$ $ $$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$: $$$$$$$$$-$$$$$$$ $$$$$$ / $. $. $$$$$$$, $. $. $$$$$$$$ // $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$. — $$$$. — № $$. — $. $$-$$.

$$⠄$$$$$$, $. $. $$$$$$$$$$ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$ $$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ / $. $. $$$$$$, $. $. $$$$$$$$ // $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$. — $$$$. — $. $$, № $. — $. $$-$$.